（二）后付年金的现值

后付年金的现值计算在现实生活中也比较常见。比如， 钱小姐最近准备买房，走看了好几家开发商的售房方案一个方案是A开发商出售一套100平方米的住房，要求首期支付10万元，然后分6年每年支付3万元，年底支付。钱小姐很想知道每年付3万元相当于现在多少钱，好让她与现在2000元/平方米的市场价格进行比较。在财务管理学中，计算后付年金的现值，就是将后付年金的每一笔收付款折算为现值在求和。设有一笔后付年金，每年收付款金额为A，期限为n期，利率为i，如上图所示，后付年金现值PV_A=A（1+i）^-1+A（1+i）^-2+……+A（1+i）^-n

按照以上公式计算显然比较麻烦，我们可以对该公式进行推导。将上述等式两边同时乘以（1+i），得

（1+i）PV_A=[A（1+i）^-1+A（1+i）^-2+……+A（1+i）^-n]（1+i）

=[A+A（1+i）^-1+A（1+i）^-2+……+A（1+i）^-n+1]

（1+i）PV_A-PV_A=[A+A（1+i）^-1+A（1+i）^-2+……+A（1+i）^-n+1]-[A（1+i）^-1+A（1+i）^-2+……+A（1+i）^-n]=iPV_A=A-A（1+i）^-n=A[1-（1+i）^-n]

PV_A=A[1-（1+i）^-n]/i

如果不用数学推导，我们从年金的终值公式也能算出年金现值公式。设有一笔后付年金，每年收付款金额为A，期限为n期，利率为i，则年金终值为FV_A=A[（1+i）ⁿ-1]/i。将该终值折算为现值，则PV={A[（1+i）ⁿ-1]/i}（1+i）ⁿ=A[1-（1+i）^-n]/i。

上式中，[1-（1+i）^-n]/i被称为年金现值系数，用PVIFA_i，n表示。比如PVIFA_6%，6表示[1-（1+6%）^-6]/6%。人们可以通过计算机编制程序进行计算。

根据上述公式，设钱小姐的住房贷款年利率为6%，则6年每年付3万元的现值为：

PV=3·PVIFA_6%，6=3×4.9173=14.7915万元

二、先付年金的货币价值计算

与后付年金不同，先付年金（Annuity Due）是指每次收付款的时间不是在年末，而是在年初。先付年金在现实生活中也很多。比如，租房户每个月在月初支付房租，学生在学期开学支付学费，等等。先付年金货币时间价值的计算包括两个方面：终值和现值。

（一）先付年金终值

先付年金的终值和后付年金终值的计算思想相似，都是将每次收付款折算到某一时点的终值，然后再将这些终值求和。但由于先付年金和后付年金的收付款时间不同，因此二者的计算方法有所区别。 

从上图中我们可看出，先付年金和后付年金相比，相当于整个现金收付向前提前了一年，因此与后付年金相比，先付年金的终值要大一个年度的复利增加。A（1+i）ⁿ

先付年金的终值FVAD= FV₀+FV₁+FV₂+……+FV_n-1=A（1+i）ⁿ+A（1+i）^n-1+A（1+i）^n-2+……+ A（1+i）¹

等式两边同时乘以（1+i）^-1，得

FVAD（1+i）¹=A（1+i）^n-1+A（1+i）^n-2+……+ A（1+i）⁰=A（1+i）^n-1+A（1+i）^n-2+……+A（1+i）^n-n=FVA=A[（1+i）ⁿ-1]/i

因此，FVAD={A[（1+i）ⁿ-1]/i}（1+i），即先付年金与后付年金相比，只增加了一个（1+i）的乘数。

例7（专营权使用费问题）孙女士看到在邻近的城市中，一种品牌的火锅餐馆生意很火暴。她也想在自己所在的县城开一个火锅餐馆，于是找到业内认识进行咨询。花了很多时间，她终于联系到了火锅餐馆的中国总部，总部工作人员告诉她，如果她要加入火锅餐馆的经营队伍，必须一次性支付50万元，并按该火锅品牌的经营模式和经营范围营业。孙女士提出现在没有这么多现金，可否分次支付，得到的答复是如果分次支付，必须从开业那年起，每年年初支付20万元，付3年。三年中如果有一年没有按期付款，则总部将停止专营权的授予。假设孙女士现在身无分文，需要到银行贷款开业，而按照孙女士所在县城有关扶持下岗职工创业投资的计划，她可以获得年利率为5%的贷款扶植，孙女士现在应该一次支付还是分次支付呢？

对孙女士来说，如果一次支付，则相当于付现值50万元；而若分次支付，则相当于一个3年的先付年金，孙女士应该把这个先付年金折算为3年后的终值，再与50万元的3年终值进行比较，才能发现哪个方案更有利。

如果分次支付，则其3年终值为：

FVAD=20×FVIFA_5%，3×（1+5%）=20×3.1525×1.05=66.2025

如果一次支付，则其3年的终值为50×FVIF_5%，3=50×1.1576=57.88万元

相比之下，一次支付效果更好。

（二）先付年金现值

先付年金的现值和后付年金现值的计算思想相似，都是将每次收付款折算到现在的现值，然后再将这些现值求和。但由于先付年金和后付年金的收付款时间不同，因此二者的计算方法有所区别。因为先付年金首次支付在年初，因此可以将它看成是现值，价值为A（1+i）⁰，从第二年初到第n-1年初支付的年金，相当于第1年末到n-2年末的后付年金，因此可以将这部分按n-1年的后付年金现值计算，因此先付年金的现值为

PVAD=A+A[1-（1+i）^-n+1]/i=A{1+[1-（1+i）^-n+1]/i}

例8（住房补贴问题）周教授是中国科学院院士，一日接到一家上市公司的邀请函，邀请他作为公司的技术顾问，指导开发新产品。邀请函的具体条件如下：

（1）每个月来公司指导工作一天；

（2）每年聘金10万元；

（3）提供公司所在A市住房一套，价值80万元；

（4）在公司至少工作5年。

周教授对以上工作待遇很感兴趣，对公司开发的新产品也很有研究，决定应聘。但他不想接受住房，因为每月工作一天，只需要住公司招待所就可以了，这样住房没有专人照顾，因此他向公司提出，能否将住房改为住房补贴。公司研究了周教授的请求，决定可以每年年初给周教授补贴20万元房贴。

收到公司的通知后，周教授又犹豫起来。如果向公司要住房，可以将其出售，扣除售价5%的契税和手续费，他可以获得76万元，而若接受房贴，则每年年初可获得20万元。假设每年存款利率2%，则周教授应如何选择呢？

要解决上述问题，主要是要比较周教授每年收到20万元的现值与售房76万元的大小问题。由于房贴每年年初发放，因此对周教授来说是一个先付年金。其现值计算如下：

PVAD=A{1+[1-（1+i）^-n+1]/i}

=20×（PVIFA_2%，5+1）=20×（4.7135+1）=20×5.7135=114.27万元

从这一点来说，周教授应该接受房贴。

如果周教授本身是一个企业的业主，其企业的投资回报率为32%，则周教授应如何选择呢？

在投资回报率为32%的条件下，每年20万的住房补贴现值为：

PVAD=A{1+[1-（1+i）^-n+1]/i}

=20×（PVIFA_32%，5+1）=20×（2.3452+1）=20×3.3452=66.904万元

在这种情况下，周教授应接受住房。