倒易空间是正空间的FOUIER变换.

基本规律概括为：

a)倒易点阵与所对应的晶体点阵同属于相同的晶系；

b)倒易点阵与相应的晶体点阵布拉菲结构特征除面心和体心倒易互换外，其余都是相同的。

1. 傅立叶展开与倒易空间

我们知道，晶体具有周期性的结构，由此使得其许多性质在某些方向上也具有周期性，例如原子核的位置的周期性排列产生了周期性的离子实势场。因此，如果要研究晶体中的电子的运动，就必须要研究这种周期性的离子实势场。所以，我们首先要处理的就是周期性函数。而傅立叶（Fourier, 1768～1830）在他的1807年的论文《固体中的热传导》中所提出傅立叶级数方法就是处理周期性函数的强大工具。值得一提的是，这个方法在当时曾引起争议，Lagrange、Laplace 一直持保留态度。后来经过Poisson、Cauchy，直至Dirichlet的努力，傅立叶的方法才最终令人信服地被人接受。

对于一个三维周期性函数u(r)（周期为T=n₁a₁+ n₂a₂+ n₃a₃），即：

u(r) = u(r + T)

这里，r是实数自变量，可以用来表示三维实空间的坐标。

那么如果将u(r)展开成傅立叶级数，其形式为：

u(r) = S_G u_G exp(iG·r)

其中，G是与实空间中的周期性矢量T相关联的一组矢量，它是如下定义的：

构成T的三个基矢量a₁、a₂和a₃张成了三维实空间，与此做类比，我们定义与实空间互为“倒易”（reciprocal）的空间，它由三个倒易基矢量b₁、b₂和b₃张成的，即G=k₁b₁+ k₂b₂+ k₃b₃。而倒易基矢量由如下倒易关系给出：

b₁ = 2π (a₂×a₃/ a₁·a₂×a₃)

b₂ = 2π(a₃×a₁/ a₂·a₃×a₁)

b₃ = 2π(a₁×a₂/ a₃·a₁×a₂)

之所以如此定义，是因为这样就能使互为倒易的两组基矢量之间满足如下的漂亮关系：

a_i·b_j= 2πδ_ij

这是很好理解的，因为在b₁、b₂和b₃的定义式中(a₁·a₂×a₃)就是基矢量a₁、a₂和a₃围成的平行六面体的体积，而(a₂×a₃)就是这个平行六面体的底面积，因此(a₂×a₃/ a₁·a₂×a₃)就是这个平行六面体垂直于a₂和a₃所在平面的高的倒数，可见，b₁的方向沿着这条高，其长度为这条高的倒数乘以2π。而这条高的长度正好是a₁在这个高上的投影大小(a₁cosq)，因为这条高的方向就是b₁的方向，所以a₁cosθ b₁ = 2π。同时，由于b₁的方向是高的方向，所以它与a₂和a₃都相互垂直。

实空间中的晶格矢量构成其体积为V_a的平行六面体，即原胞。与此类似，倒易空间中的基矢量也构成一个体积为V_b的平行六面体。这两个互相倒易的平行六面体单元的体积关系也是倒易的：

V_a V_b = (2π)³

对于晶格中的一个晶面(hkl)，倒格矢G = hb₁+ kb₂+ lb₃与该晶面垂直，并且两个相邻平行晶面的间距（晶面距）为：

d(hkl) = 2π/|G|

至于为什么在倒易关系中存在2p 因子，这是因为如此定义的互为倒易的两个矢量G与T之间满足下面简洁的恒等式：

exp(i G·T) = 1

上式的证明只需将G与T用相应的基矢量展开即可获得。利用这个简洁的恒等式和u(r)傅立叶展开式，可以验证u(r)是周期函数：

u(r + T) = S_G u_G exp[iG·(r + T)] = S_G u_G exp(i G·r) exp(iG·T)
= S_G u_G exp(i G·r) = u(r)

u(r)傅立叶展开式中的傅立叶系数可以用下面的积分求得：

u_G = V_a^–1 ∫_cell u(r) exp(i G·r) dV

其中上述积分是对一个晶胞内的积分。

总之，由傅立叶变换将晶体的周期性的实空间（正格子）变换成了周期性的倒易空间（倒格子）。下面我们将看到，倒易空间对于描述晶格与粒子（如光子、电子等）之间的作用是很便利的。例如，X射线衍射图样实际上是晶体倒格子而不是正格子的直接映像。

 

2.  倒易空间与波矢

电子、光子等微观粒子具有波粒二象性，德布罗意（De Broglie,1892～1989）为此提出了著名的德布罗意公式：

p = h/λ

根据这个公式，动量还可以写成普朗克常数乘以波数的形式：

p = hμ

在固体物理学中，人们常用到的是角波数，它与波数的关系是：

k = 2πμ

波数的含义是单位长度内所包含波的周期数；而角波数的含义就可以理解为单位长度内所包含波的相角数。这对于研究波的干涉和衍射非常有用，比如在距离上相差r的空间两点，它们之间的相角度、差就是k·r，这里的k = k₁ + k₂ + k₃就是角波数矢量，简称波矢。波矢的量纲与前面我们定义的倒格子矢量相同，所以，前面我们引入的倒易空间也称为波矢空间。

这样，粒子的德布罗意公式可以写成动量与波矢的形式：

p = ħk

这个式子左边的动量反映了粒子性，右边的波矢反映了波动性。此式也表明，波矢与动量之间只相差一个常数因子，因此，波矢空间有时也称为动量空间。

还有一个著名的量子公式是能量e正比于频率υ：

e = hυ

此式也可以写成角频率（w = 2p n）的形式：

e = ħ ω

角频率ω与角波数k之间的关系是：

v_g = λ/T = υ/μ = ω/k

其中，v_g是波包的群速度，T是周期。

 

3. 衍射条件

正如我们前面说过的，X射线衍射图样实际上是晶体倒格子而不是正格子的直接映像。这是因为，可能存在的X射线反射由倒格矢所确定，或者说，衍射条件取决于倒格矢的分布。

关于这个结论，我们可以如下考虑：

假设一个距原点位置为r的体积元dV所散射的波的振幅正比于该体积元的电子数目n(r)dV（其中n(r)是电子密度），又设X射线的入射波矢为k，出射波矢为k'，则r处的散射波相角差为(k–k')·r = –Δk·r。这样，出射方向上散射波的总振幅就正比于n(r)dV与相位因子exp(–iΔk·r)的乘积在整个晶体体积内的积分，于是我们定义如下量F（称为散射振幅）为：

F = ∫n(r) exp(–iΔk·r) dV

由于晶体中电子密度函数n(r)是正格子的周期性函数，因此可以将上式中的n(r)用傅立叶级数展开，从而得到：

F = S_G∫n_G exp[i(G–Δk)·r] dV

可以证明，当Δk = G时，|F|²最大，衍射强度最大。此时，

F = S_G∫n_G exp[i(G–Δk)·r]dV
= S_G∫n_G exp(iG'·r)dV

= S_G∫n_G dV

= V S_Gn_G

因此，晶体衍射的条件就是：

Δk = G

或即

k + G = k'

如果对于弹性散射，光子的能量守恒，即

e = ħ ω = ħ ω'

而ω正比于波矢的大小k = |k|，因此，

k² = k'²

因此，衍射条件就变成：

(k + G)² = k²

整理后可得：

2k·G + G² = 0

由于–G也是一个倒格矢，因此，将上式中的G换成–G仍不失一般性：

2k·G = G²

这就是漂亮的衍射条件公式。用此式可以导出布拉格（Bragg）方程和劳埃（Laue）方程，这里就不详细展开了。

如果将上述衍射条件改写成：

(2k+ G)·G = 0

那么就能理解埃瓦尔德（Ewald）作图法：以k = 2π/λ为半径作球，那么所有落在球面上的倒格子格点与圆心的连线就是衍射束的方向，如下图所示（图中X射线从左端入射到A点，被反射到P点，θ就是布拉格角）：

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将空间点阵（真点阵或实点阵）经过倒易变换，就得到倒易点阵。倒易点阵的外形也很象点阵，但其上的节点是对应着真点阵的一组晶面。倒易点阵的空间称为倒易空间。倒易点阵与正点阵的关系真点阵中的一组晶面（hkl），在倒易空间中将用一个点Ｐhkl表示（如图所示），点子与晶面有倒易关系，关系为：点子取在（hkl）的法面上，且Ｐhkl点到倒易点阵原点的距离与（hkl）面间距反比．从原点到Ｐhkl点矢量Ｈhkl称为倒易矢量，其大小Ｈhkl=k/dhkl 式中k为比例常数，在多数场合下取作１，但很多时候亦可令之等于Ｘ射线的波长．倒易点阵的性质１.倒易矢量r垂直于正点阵的HKL晶面２.倒易矢量长度r等于HKL晶面的面间距dHKL的倒数

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1.3 倒易点阵 1.3.1倒易点阵的概念　 　　将空间点阵（真点阵或实点阵）经过倒易变换，就得到倒易点阵。倒易点阵的外形也很象点阵，但其上的节点是对应着真点阵的一组晶面。倒易点阵的空间称为倒易空间。
	1.3.2倒易点阵与正点阵的关系 　　真点阵中的一组晶面（hkl），在倒易空间中将用一个点Ｐhkl表示（如图所示），点子与晶面有倒易关系，关系为：点子取在（hkl）的法面上，且Ｐhkl点到倒易点阵原点的距离与（hkl）面间距反比． 从原点到Ｐhkl点矢量Ｈhkl称为倒易矢量，其大小 Ｈhkl=k/dhkl 式中k为比例常数，在多数场合下取作１，但很多时候亦可令之等于Ｘ射线的波长． 关系见右图
	1.3.3倒易点阵的性质 １.倒易矢量r垂直于正点阵的HKL晶面 ２ .倒易矢量长度r等于HKL晶面的面间距dHKL的倒数

 

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