一、课堂教学环节

上课！同学们好，请坐。

同学们，请大家欣赏以下生活中的图片，你能从中发现哪些熟悉的平面图形呢？好，有三角形、平行四边形，还有圆形。很好，三角形在我们初中阶段已经接触过了，而平行四边形和圆形，我们只在小学对它有一个直观的认识。那么今天，我们将站在初中的角度，先对平行四边形展开深入的学习。

同学们，平行四边形是一种特殊的几何图形，但我们并不是第一次研究特殊几何图形了。大家还记得等腰三角形吗？你们还记得我们是如何对等腰三角形展开学习的吗？哎，你来说说。哦，我们先研究了它的定义，又研究了它的性质。那我们是怎样得到等腰三角形的这些性质的呀？你来试试。好，我们从它的对称性入手，从它的边、角以及一些特殊线段上得到了直观的发现。那这些发现是不是就是等腰三角形的性质了？哦，不是，我们还通过严格的证明，把它作为等腰三角形的性质，能作为证明的依据来使用。有道理。接着，我们又学了等腰三角形的判定还有应用。那根据对三角形的学习经验，大家认为我们应当如何开展对平行四边形的学习呢？你来试试。哎，我们也可以先研究它的定义，然后是性质、判定，还有应用。很好。那我们可以怎样对平行四边形的性质展开研究呢？哦，也可以先从它的对称性入手，在边、角以及特殊线段等方面得到直观发现，接着进行严格的证明，得到性质。非常棒，大家得到了我们本章学习平行四边形的结构，那下面我们就按照这个结构，展开对平行四边形的学习。

小学我们就已经知道了，两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。和三角形类似，我们也可以先写一个小小的平行四边形的符号，再把它四个顶点所对应的字母按照顺时针或者逆时针的顺序依次写在后面，用这个符号来表示这个平行四边形，读作 “平行四边形 ABCD”。其中，不相邻的两个顶点所连接的线段叫做这个平行四边形的对角线，比如线段 BD。当然，平行四边形只有一条对角线吗？哦，有两条，还有对角线 AC。

那根据我们得到的结构，接下来我们应当研究平行四边形的性质，这也是我们本节课主要研究的内容。那类比我们得到的方法，我们应该从哪里入手来研究平行四边形的性质呢？哎，对称性。老师想问大家，平行四边形具备对称性吗？那它是轴对称图形吗？那它是中心对称图形吗？是啊。那它的对称中心是哪个点呢？哦，是对角线的中点，对角线的交点。哎，有的同学通过折叠手上的平行四边形小纸片，发现无论如何折叠，都不能让两部分重合；也有的同学通过把小纸片绕着对角线的交点或者其他的点进行旋转，发现了自己的结论。哎，老师这里也利用几何画板软件帮大家进行直观演示，大家看，平行四边形 ABCD 绕着对角线的交点旋转 180 度之后，和原来的平行四边形重合了。那现在我们是不是就可以断定，平行四边形是一个中心对称图形，而且它的对称中心就是两条对角线的交点？

我们成功得到了平行四边形的对称性，那根据我们等腰三角形的研究脉络，接下来老师想问大家，在对平行四边形对称性的探究过程中，你还有哪些发现呢？好，现在请大家以小组为单位，交流讨论你们的发现，过程中大家可以继续操作手上的平行四边形小纸片，开始。哎，得到发现的小组，可以把发现贴到黑板上来。

好，时间到。哦，大家看，我们得到了这么多发现。同学们，我们在研究多个问题的时候，如果能将它进行有序的整理和分类，对于我们研究问题是很重要的。谁能自告奋勇上来，为大家把这些发现分分类啊？好，你来试试。哦，你分完了，来，能不能和大家说说你是怎么想的？哎，有道理，他利用到刚刚我们得到的结构，按照边、角和特殊线段的发现，将它们进行分类了，很好。

哎，同学们，那这些发现大家是不是都认同呢？来看这一条，哦，底下有同学说，这不就是我们平行四边形的定义吗？哎，很好，它就是平行四边形的对边平行。好，那再来看这条发现，大家都认同吗？哦，都认同。那我们能不能也用类似的方法，用文字语言概括一下？你来试试。哦，平行四边形的对边相等，很棒。来，这条发现大家都认同吗？哦，都认同。哎，同学们，平行四边形中有没有类似的两个角也有这样的关系啊？哎，还有角 B 加角 C、角 C 加角 D、角 D 加角 A，也都等于 180 度，很棒。来，能不能用文字语言概括一下？哎，很好，平行四边形的邻角互补。来，这条发现，好，你来试试。哦，你将它概括为平行四边形的对角相等，大家认同吗？认同。

来，这条发现，哎，老师想问问这条发现是哪位同学得到的？好，你能不能说说你是怎么想的？来，我们把对角线连接上。哦，这位同学是在绕着平行四边形对角线的交点进行旋转的时候，发现当旋转了 180 度后，OB 与 OD 重合，OA 与 OC 重合，大家同意吗？哎，我们能不能也类似地用文字语言概括一下啊？好，你来说说。哦，他说是平行四边形对角线的交点是对角线的中点，哎，不错。哎，同学们，其实啊，既然这个点是这两条对角线的中点，那么是不是说这条对角线其实平分了另一条对角线，同样的，另一条对角线也平分了这条对角线，对吗？哎，那我们能不能再进一步概括一下刚刚的说法呀？好，你来试试。哎，平行四边形的对角线互相平分，同意吗？非常棒。

同学们，刚刚我们根据平行四边形的对称性，在边、角和对角线等方面，对平行四边形的特点得到了发现。根据我们的结构，接下来我们将对这些发现进行严格的证明，来验证它们的正确性。好，那下面就请大家尝试对这些发现进行证明，开始。

好，大家先等一下，老师看到大部分同学都已经完成了角的发现的相关证明，我们来投屏展示几位同学的做法，请他们为大家讲解一下他们的做法。听明白了吗？哎，思路非常清晰，他们先利用到平行四边形的定义，根据对边平行得到了邻角的互补，又利用到了同角的补角相等，得到了对角相等的结论，同意吗？哎，非常好。当然，老师要提醒大家，我们写证明过程其实就相当于是在写文章，所以每一步后面也要加上标点符号。

哎，同学们，我们现在角的相关发现已经证明完毕了，接下来请大家继续完成其他发现的证明，开始。哎，老师发现有的同学在证明对边相等时遇到了困难，来，请大家想一想，我们要证明线段相等的时候，往往会采用什么方法呀？哎，那在平行四边形中，能直接使用这种方法吗？那我们该怎么操作，才能使平行四边形能用这种方法呢？哎，有同学已经有想法了，来，请大家继续证明。

好，平台显示所有同学都已证明完毕了。来，我们针对于 “对边相等” 这个发现，投屏展示几位同学的做法，请他们为大家讲解。听懂了吗？哎，这两位同学都是连接了一条平行四边形的对角线，把平行四边形分成了两个全等的三角形，利用到全等三角形的性质，得到了对边相等，很棒。这两位同学很厉害的点在于，他们竟然把平行四边形这个复杂的问题，通过连接对角线转化成了三角形当中的一些简单的问题。这种转化的数学思想，在我们后续研究很多复杂数学问题时都能用上，大家要细细品味。

好，我们再来看看这位同学关于对角线相关发现的证明，请他为大家讲解一下。听明白了吗？哎，说的很好，这位同学也是利用到了类似的转化思想，把平行四边形的问题转化成了全等三角形的问题加以解答。但是他也发现，他遇上了一个 “文不对题” 的毛病 —— 我们只有在图形上标注好了角 1、角 2、角 3、角 4，才能在行文当中去使用它们，大家一定要注意。

哎，同学们，通过我们共同的努力，我们成功地把刚刚的这几条发现给证明了出来。那其实其中的 “对边相等”“对角相等” 以及 “对角线互相平分”，就作为我们平行四边形的性质定理给大家列出，它们分别是从边、角以及对角线三个方面，对平行四边形的性质展开了叙述。当然，这两条发现也是成立的，只是这条发现是平行四边形的定义，我们这里不过多赘述；而这条发现显然是平行线的性质，它是一组互补的同旁内角，所以我们这里也不把它作为平行四边形的性质给出，大家听明白了吗？

哎，那么今天我们所得到的这些性质，它对应的应用与练习，我们将放在下节课继续进行研究，大家敬请期待。相信通过今天我们的所学，大家对于这些知识应当有了一定的深刻理解。那下面就请大家一起来说说，通过今天的学习，你都收获了什么呢？好，你来试试。哦，这位同学帮助我们梳理了一下本节课所得到的平行四边形的性质，很好。好，你还有想法。哎，他学会了通过转化的思想来解决问题。

同学们，今天我们共同努力得到这么多性质，这些性质仅凭我们一位同学可是得不到的，这是我们共同努力的成果。所以啊，我们平时的学习不但要向老师学习、向课本学习，还要向同伴学习。也正如刚刚同学们所说，本节课我们类比着等腰三角形的研究思路，从平行四边形的对称性入手，进行了一些直观的发现，最终从边、角和对角线等方面得到了平行四边形的一些特点，又经过了严格的证明，得到了平行四边形的性质。这个过程不仅在本节课，在后面我们研究其他几何图形的性质的时候，都应该使用这种方法来进行学习，大家要敬请期待。

另外，结合这个性质，以及我们之前学习的平行四边形的定义，类比着等腰三角形的研究，接下来我们应当学习平行四边形的判定以及应用。其实啊，我们之前在研究最一般的多边形 —— 三角形的时候，就在始终使用这种结构来进行学习了。后来我们逐步地将三角形的边和角进行特殊化，研究了一些特殊的三角形。后来随着我们学习的深入，我们研究多边形的边数逐渐增加，开始研究了四边形。而本节课，我们也将四边形的边进行了特殊化，展开了对平行四边形的研究。那么平行四边形之后，是不是也可以继续进行边和角的特殊化呢？那这个问题我们将留在 9 年级，继续揭开它神秘的面纱，大家敬请期待。

随着本节课接近尾声，AI 智能询证系统也帮我们分析出了大家参与课堂的完成情况。根据分析报告以及老师的观察，同学们今天表现的真的超棒！老师希望大家在之后的数学之旅里，也可以继续延续这份积极与热情，在未来的数学天地里探索不息，越走越远。

以下是本节课的作业，大家看，作业中给了大家一个新的图形，叫做 “正形”。那么现在，我想让大家在课下对正形的性质进行研究，大家想怎样进行研究呢？好，你来说说。哎，这位同学说，可以利用到我们本节课所得到的研究平行四边形的方法和结构来进行研究，说的非常棒。那么这个问题就留在课后，请大家继续探究。那么本节课就上到这，下课！同学们再见。

二、教学阐释环节

各位评委老师，下面是我本节课的教学阐释环节，我将从以下几个方面进行本节课的阐释。

义务教育数学课程标准中明确指出，数学课程要使人人都能够获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展，逐步形成适应终身发展需要的核心素养。由此我深刻认识到，数学教学不仅仅是知识的传授，更是学生综合素养的培育。于是我秉持着 “关注知识生成过程，培养学生学会学习” 的教育理念，在几年的观察、思考和实践中，逐步形成了以 “主动探究、深度理解、结构认知” 为显著特点的教学风格。意思是，我力求让学生主动发现知识和方法，对知识能知其然且知其所以然，能够结构化地认识知识的本质。

特别的，本节课属于 “图形与几何” 领域中 “图形的性质” 部分的学习，它的学习既是学生推理能力发展的关键场景，更是几何推理作为发现知识和构建知识结构这一重要工具的体现。根据课标对本节课的具体要求，本节课在教材中的地位与价值如下：它是学生以三角形为工具，研究平行四边形性质的重要课程；它为后续学生学习四边形及其他几何图形奠定了基础，同时也是他们深化几何学习、提升数学素养的重要环节。

学科的教学是针对学情的教学，因此我们应当关注学生的知识基础、活动经验、心理特征，以及可能遇到的困难与挑战。在过往的学习中，学生已经直观感受了平行四边形的特征，掌握了平行线的性质、全等三角形等知识，具备了证明平行四边形性质的理论基础；另外，他们也积累了一定的活动经验，对新知识具备好奇心，愿意进行主动探究。然而，他们在证明平行四边形性质定理的过程中，构造基本图形以及转化的思路，对部分学生来说是有难度的，有序探究和规范表达也需要加强。

由此，针对我对课标、教材以及学情的把握，我制定了本节课如下教学目标：学生要理解平行四边形的概念，探索并证明平行四边形的性质定理，发展抽象能力、推理能力；另外，要经历观察、实验等几何发现的过程，进一步感悟图形直观对发现图形性质的作用；同时，在数学活动中，经过严格的逻辑推理、规范的证明步骤以及精准的数学语言表达，充分展现数学的严谨性，引导他们感受几何证明之美。同时，我们可以通过这些表现，来判断学生是否达成了本节课的目标。

本节课的重点为探索并证明平行四边形的性质定理；难点为在平行四边形性质定理的探索中，体会将平行四边形转化为基本封闭图形 —— 三角形的数学转化思想。

以教学目标为导向，本节课我引导学生类比着对三角形的研究思路，构建了研究一般几何图形性质的研究思路，并将之迁移到对本章平行四边形的研究过程中来。过程中学生充分体会了类比、转化、归纳的数学思想，发展了他们的抽象能力、几何直观以及推理能力等数学核心素养。特别的，对平行四边形的理性探究以及对性质定理的建构，也对学生思维发展、理性精神的塑造等方面有着重要的价值。

从具体的策略与方法上来看，本节课我采取 “结构关联、开放互动” 的探究式教学法，学生在 “发现 — 猜想 — 证明” 中逐步生成了平行四边形的性质；而老师通过直观、转化、归纳三个开放互动性问题，让学生成为探究的主体，经历了性质生成的全过程，体现我 “以生为本” 的教育理念。

从具体的教学内容出发，我将本节课的教育思想归纳为如下两个关键词：

第一个关键词是 “结构化”。法国数学家笛卡尔曾经说过：“我所解决过的每一个问题，都成为日后用于解决其他问题的法则。” 在他的这种思想的指引下，我也有意识地将结构化思想融入到本节课的教学设计中。这首先体现在，我引导学生类比三角形的学习，建立了平行四边形的知识结构，这样让学生对几何图形的学习建立了知识和方法的结构，帮助他们建立完整的学习脉络，增强对平行四边形研究的整体认知，促进主动探究。当然，我认为对学生知识和方法的结构化培养，最终一定落脚在他们认知的结构化上。因此本节课，我还帮助学生建立了图形性质学习的认知结构：学生首先通过对平行四边形对称性的研究，对它的各个特点进行几何发现，接着对其进行几何证明，从而得到性质定理。这个过程本质上其实就是学生在对一个发现的获得中，从合情推理过渡到演绎推理的重要过程。另外，在课堂小结环节，我也通过结构化的提问和梳理，帮助学生巩固了知识间的相关联系，这一过程让学生在方法学习上启发了思路，同时也对未来的学习进行了展望。另外，在布置作业环节，通过 “正形” 这一图形性质的探究过程，让学生加深了对本节课性质探究路径的理解；同时，不同层次学生探究程度的不同，也为我对学生的评价提供了依据。

第二个关键词是 “关注生成”。古希腊哲学家苏格拉底曾经说过，教师在教学中的角色应当如同一位助产士，其职责在于 “助产” 而非 “待产”。于是在我的教学设计中，我时刻关注学生知识生成的过程，尊重他们的自然生成。这首先体现在本节课我关注学生认知发展的过程：学生在本节课将经历这样的认知发展 —— 首先对直观对象进行观察感知，接着获取其中的表象信息，再通过思考与探索，抽象出它们的概念与关系。这个过程中，几何发现起到了相当重要的认知发展作用，对它的关注让学生能够进一步感悟图形直观对发现图形性质的作用，同时感受数学的直观美。另外，实际上我也在让学生进行几何发现之前，先让他们对平行四边形的对称性进行了猜想与探究。这个过程的目的是，因为学生之前已经学习了中心对称这一性质，对平行四边形的特点已有一定认知，此时让他们在探究前先充分思考，目的就是发展他们的几何直观与空间想象，这个过程其实也是我对于认知发展的一个很重要的理解。

另外，本节课相关内容中，平行四边形的所有性质探究原本是放在两个课时中解决的，但我本节课将所有性质放在一个课时中解决，对应的练习与应用放在第二课时学习。这一安排的目的，也是为了保护学生认知过程的连续性，让他们能够系统理解平行四边形的性质，优化学习体验与效果。同时，我还关注了知识研究能力的提升，让学生对有序探究和分类研究的数学思想方法进行一定培养；另外，学生在对性质的探究过程中可能会出现困难，我也通过这样的结构化思维提示，帮助学生经历了构造基本图形解决问题的过程，进一步体会转化的数学思想。

最后我想说，数学教学的根本在于培养人。经过本节课的学习，学生可以沉下心梳理每一步推理的逻辑，互相启发完善对性质的认知；有耐心反复尝试、深入探究；能够乐于分享自己的思路，在这些方面不断成长，最终实现全面发展的目标。

我本次阐释就到这里，感谢各位评委老师！