高中的幂函数

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本博注:高中的幂函数
编写意图:“幂函数”主要是借助对这一类函数的研究,使学生理解研究一类函数的内容、基本思路(定义与表示——图象与性质——应用)和方法,围绕函数概念这个核心,从相互联系的观点出发,利用函数与数、代数式、方程、不等式等之间的联系,通过类比、归纳和概括,引导学生从不同角度理解函数概念。
教学实施:在幂函数概念的定义过程中,注意了在初中已学的函数知识基础上,通过实例,引导学生归纳共性、抽象概括出概念。在幂函数图象与性质的研究过程中,注重先构建整体思路,再展开具体研究。
把“幂函数”安排在必修一第三章函数的概念与性质这一章,主要是希望达成上述编写意图和教学实施。
教学建议:教科书将幂函数的内容安排在函数的一般概念和性质之后,是高中阶段研究的第一类具体函数。教学中应注意通过对幂函数的讨论,引导学生加强对前面所学函数知识的理解和应用,体会研究具体函数的基本内容、过程和方法。
课标要求:根据课程标准的要求,教科书从实际问题中得到5个常用的幂函数,通过归纳它们的共性,给出幂函数概念。教学时,只需对这5个函数的图象和性质进行认识,不必拓展到对一般幂函数的讨。教学重点在于利用一般函数的概念、图象与性质研究这5个幂函数,体会研究一类函数的“基本套路”。因此,本节内容的学习可以看成一般函数概念与性质的下位学习。
题目处理:本节例题要求利用函数单调性的定义证明幂函数的单调性。由于之前幂函数的基本性质是由图象观察得来,这里对单调性给予严格证明,一方面弥补了由图象归纳性质的不严谨,另一方面也是对刚刚学习的一般函数单调性定义的应用。教学中还可让学生选取其他几个性质进行证明,以训练学生的代数推理技能。练习中的3个题目,第1题体现了幂函数定义的应用;第2题体现了幂函数单调性在比较大小中的应用,教学中应注意不要用实数的性质直接去比较大小,应选取合适的幂函数模型,利用幂函数的单调性比较大小;第3题体现了对幂函数的单调性和奇偶性严格的推理证明,也体现了对前面函数性质的应用,教学中应注意作差之后的变形(因式分解、分母有理化)是证明的难点,必要时可以对变形过程进行引导。
函数应用:教科书在函数的概念与性质、幂函数后安排了函数的应用(一),其中的例题都是给定数学模型的实际应用,在后续内容中将安排更加复杂的、需要根据实际背景建立数学模型的应用问题。教学中应引导学生体会应用函数知识解决实际问题的过程和方法。
函数模型:理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具。结合现实情境中的具体问题,利用计算工具,比较对数函数、线性函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义。在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律。函数的应用(二)是在上一章函数的应用(一)的基础上,从两个方面介绍函数的应用。一是数学学科内部的应用,利用所学过的函数研究一般方程的解;二是实际应用,建立实际问题的函数模型,并通过函数模型反映实际问题的变化规律,从而分析和解决实际问题。
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