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(2025-04-08 20:05:15)
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分类： 教育理论 |
勒让德&高斯：最小二乘法
最小二乘法是由法国科学家勒让德和德国数学家高斯几乎同时独立提出的。
最小二乘法最早出现在勒让德1805年发表的论著《计算彗星轨道的新方法》附录中。而高斯则在1809年他的著作《天体运动论》中发表了最小二乘法的方法。勒让德和高斯发现最小二乘法是从不同的角度入手的：一个是为解线性方程组，一个是寻找误差函数；一个用的是整体思维，考虑方程组的均衡性，一个用的是逆向思维，首先接受经验事实；一个是纯代数方法，一个致力于应用。尽管高斯声称自1799年以来就使用最小二乘方法，但第一个用文字形式发表的是勒让德。因此，现在一般认为，二人各自独立地发明了最小二乘法。
最小二乘法是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和来寻找数据的最佳函数匹配。
最小二乘法的核心思想是通过最小化误差的平方和，使得拟合对象无限接近目标对象。这种方法可以用于拟合现有对象的问题，例如在回归分析中，最小二乘法可以用来找到一条直线，使得所有样本到这条直线的欧氏距离之和最小。最小二乘法的求解过程通常涉及到对误差函数求导，并将导数设为零来找到极值点。此外，最小二乘法还有一些统计特性，例如无偏性、最小方差性等，这些特性使得最小二乘法在实际应用中非常广泛。
最小二乘法的名字来源于其数学定义，即最小化误差的平方和。
最小二乘法（Least Squares
Method）是一种常用于拟合数据的数学优化方法。其目标是在已知数据点的基础上，构建一个最佳拟合模型，使得模型的预测值与实际观测值之间的误差（残差）的平方和最小化。这种方法之所以被称为“最小二乘”，是因为它旨在最小化这些误差的平方值之和，即“平方和”的概念。
作为数学史上五个著名争论之五：高斯与勒让德关于最小二乘法原理发明优先权的争论
1809年，高斯的第二部杰作《天体运行理论》正式发表，它为天文学提供了完整严密的数学理论和快捷有效的计算方法，堪称数理天文学中一颗夺目的明珠，这本书虽然给高斯带来了无上的荣耀，却也给高斯和勒让德的关系蒙上了阴影。
勒让德是一位有才能、品格高尚的数学家，极其凑巧的是，他所独立研究的许多课题、成果，如数论、几何的基础和最小二乘法原理等，都和高斯的研究雷同，有的甚至发表在高斯之前，勒让德在1806年就宣布发明了最小二乘法原理，而高斯却只是在《天体运行理论》里公开了该原理，在书中，高斯顺便提到，他早在1794年就已经在应用这个原理了，他的“顺便一提”剥夺了勒让德多年辛苦研究成果的优先权，这让勒让德大为恼火，他觉得高斯已经享誉盛名，还来抢最小二乘法原理发明的优先权，实在欺人太甚，这在科学界引起了轩然大波，一时间对高斯的指责越来越多，但人们却没有听到高斯任何公开的辩论，只是在给朋友的一封信中，高斯提过一笔：1802年我把整个事情告诉过奥伯斯，勒让德要是不相信，可以去问奥伯斯，他那里有记录。
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