已经提出假设，接下来便是研究该如何“检验”.由于检验的基本原理是基于原假设收集数据，从而测定观察值与预期值之间的差异显著性。因此我们的预期值应当是基于相互独立得到的，即：两个分类的交叉项的概率可以根据独立事件的概率乘法公式得到。

显然，四个单元格中的数据和对比的数据有一定差距。如果原假设成立，它们应该相差不远。这个“相差不远”该如何用数据去衡量呢？容易想到用每一栏中观察值与期望值差的平方和来描述。

但是这样会产生一个问题：这个指标与每一栏自身的样本容量有关，不同的样本其基数是不一样的。换言之，这里需要的是一个相对量而不是绝对量。因此我们还要将求和公式中的每一个平方项除以这一栏的预期值：这里构造的就是皮尔逊发布的著名统计量，也即列联表的卡方检验公式。

给出分布分位点的概念：对于给定的正数α，称满足条件卡方值大于等于某个值的点为分布的上α分位点，称为显著性水平。一个好消息是，对于不同的卡方值，上α分位点的值已经被统计学家们研究透了，对此我们只需要查表即可！

卡方检验的方法其实就类似于反证法。实际上，这两者既有联系也有区别。卡方检验先假设两变量独立，然后构造一个事件（具体来说该事件指的是皮尔逊检验统计量大于给定显著性水平下的临界值），它在我们的假设之下发生的概率极小（即为）。如果它在实际情况中发生了，就与小概率原理矛盾，因此我们便可以拒绝原假设。这个过程和反证法的步骤是类似的。