卡方检验的自由度

卡方检验的自由度由列联表的行数和列数决定，计算公式为（R-1）×(C-1)，其中R为行数，C为列数。这一数值反映了在给定行、列总数约束条件下，列联表中可独立变动的数据点的数量。以下从定义、计算逻辑及实际应用三个角度展开说明。

自由度的核心意义

自由度本质上是统计模型中独立参数的数量。对于卡方检验（如独立性检验或拟合优度检验），自由度取决于约束条件的数量。例如，在2×2的列联表中，自由度（1×1）=1，意味着仅有一个单元格的数值可自由变动，其余单元格的数值由行、列总数唯一确定。

计算逻辑的数学推导

列联表的总行数为R，总列数为C。每一行的最后一个单元格数值由该行总数和该行前（C-1）个单元格的数值决定；同理，每一列的最后一个单元格数值由该列总数和该列前（R-1）个单元格的数值决定。因此，实际可自由变动的单元格数为（R-1）×(C-1)。例如，3行4列的列联表自由度为（3-1）×（4-1）=6。

应用场景与实例验证

在独立性检验中，自由度直接用于查卡方分布表以确定临界值。例如，某研究性别（男/女）与偏好（是/否）的关联性时，列联表为2行2列，自由度为1。若计算得到的卡方统计量超过自由度1对应的临界值3.841（α=0.05），则拒绝原假设。这一计算方式确保了统计推断的准确性。