课件呈现前面学习的函数的定义和三种表示法

引导：通过前面的学习，我们知道，函数是描述客观世界中变量之间的一种对应关系，可以通过研究函数的变化规律来把握客观世界中事物的变化规律。函数的变化规律就是指函数的性质，包括随着自变量的增大函数值如何变化？函数的图象有什么特征等。

问题：我们知道，先画出函数象，通过观察和分析图象的特征，可以得到函数的一些性质。观察课本图3.2-1的各个函数图象，你能说说它们分别反映了相应函数的哪些性质？

师生活动：教师引导学生看教科书，同时可以借助课件展示，学生观察思考并回答，教师根据学生回答引导学生关注图象从左到右升降变化的特点、对称性、最高（低）点等。指出，这些特点就是函数性质，本节课先研究如何定量刻画函数值随自变量的增大而变化的规律。

设计意图：以已学内容为铺垫，让新知的生成有基础知识、方法与思想，具体函数的图象可以让学生直观感知函数变化，教师在学生回答基础上引导进入新课，有助于学生在感受新知学习必要性的同时，有序递进展开具体学习。

回顾：有初中，我们利用函数图象研究过函数值随自变量的增大而变化的性质，这一性质叫做函数的单调性。

问题：下面结合具体的二次函数，用符号语言刻画这种性质，请问：你是怎样理解“y随x的增大而增大或减小”的？你能说说它的数量特征吗？

师生活动：学生先独立思考或小组讨论，教师再组织全班交流。

设计意图：从刻画数量特征角度进行描述，可能促使学生思考单调性的本质，以使从定性描述转向定量描述。

追问：（1）从某个区间中具体取两个自变量的值，比较它们函数值的大小；

（2）从取两个变为取多个？

（3）从取多个变为取无数个？

（4）如何才能准确刻画其数量特征？你是如何描述这种数量特征的？

师生活动：学生独立思考，同伴交流互动，教师组织引导，归纳概括，得到对具体函数单调性的一般化描述

设计意图：引导学生经历一个从感性认识，到由特殊到一般，由具体到抽象的理性表达，将数学概念数学化地表达，提升学生的直观想象、数学抽象核心素养

思考：请你模仿上述过程，用严格的符号语言刻画课本“思考”题两个具体函数的单调性？

师生活动：学生模仿，类似定量刻画，由生疏到熟练，由模糊到清晰，教师引导全体学生一起完成

设计意图：从教师引导，到学生自主思考模仿，描述，到同伴交流，明确，必须充分发挥学生的自主性，体验性，从基本活动中积累数学经验，为单调性概念的生成做好准备

问题：请你归纳刚才我们对三个具体函数单调性的刻画方法，给出一般函数在其某个区间上的单调性的符号表述。

师生活动：先由学生独立完成，然后小组交流，再组织全班交流，在充分思考，交流的基础上，教师引导学生给出严格的单调性定义表述 。然后，让学生再好好阅读课本相关概念的核心内容。

设计意图：经历一个数学概念的生成过程，既让学生积累数学活动经验，也让学生学会如何研究数学对象，发展数学抽象等核心素养。

问题：让学生思考课本“思考”两个问题对于区间上某些自变量值的集合，能说其上的单调性吗？你能举例说明吗？你能举整个定义域上单调的函数例子吗？定义域中某些区间上增某些区间上减的函数例子吗？

师生活动：学生自己思考，举例回答，教师组织同学辨析，评价或纠正完善，得到思考的正确答案

设计意图：通过具体实例归纳得出数学概念是数学研究的主要方法，让学生从已学函数知识中举例，有助于深入理解单调性概念，并对其内涵外延更清晰地把握，特别是概念中“任意”，“某个区间”等关键词的理解和把握。

课本例1（根据定义，研究函数的单调性）

师生活动：让学生独立思考，共同讨论研究思路，由学生尝试给出严格的表述，可以让学生板书，教师引导点评并完善作出示范。告诉学生研究单调性的方法，结合已学函数知识，借助数形结合思考，定性与定理，直观形象与严密表述相结合。

设计意图：从单调性概念到其应用，学生将经历一个意会到言传的过程，可以尝试表达，但仍需要教师引导，示范并强调，从理解到掌握才得以落实

课本例2（物理学中的玻意耳定律的证明）

追问：你能理解“体积减小，压强增大”的含义吗？

师生活动：让学生独立完成证明，可以发挥导学案作用，教师巡视并交流点拔，选择性地投屏展示学生作业，点评完善。

设计意图：有例1的示例下，学生应该能够独立较好地完成例2的解决，本例的作用是让学生体验数学与物理的联系，感受数学在科学研究中的价值

追问：你能总结例1例2的解题过程，归纳一下用单调性定义研究或证明一个函数单调性的基本步骤吗？

师生活动：学生思考，自主探究，小组讨论，教师让小组代表发言，形成“基本步骤”

设计意图：从概念学习，到概念应用，从操作层面，到思想方法层面，发展学生的数学能力与素养，完成特殊到一般的抽象，为例3再从一般到具体的实践提供基础

例3（根据定义证明“双勾函数”的单调性）

师生活动：学生独立思考，自主完成，教师巡视，查看学生完成情况，让学生代表板书，教师点评强调

变式：（1）换一个区间证明递减；

（2）如何刻画整个定义域上的单调性；

（3）其他“双勾函数”或“飘带函数”的单调性研究。

练习：课本练习

设计意图：练习复习巩固，综合应用，拓广延伸