关于数学期望的历史故事

在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，一共进行五局，赢家可以获得100法郎的奖励。

当比赛进行到第四局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平？用概率论的知识，不难得知，甲获胜的可能性大，乙获胜的可能性小。

因为甲输掉后两局的可能性只有(1/2)×(1/2）=1/4，也就是说甲赢得后两局或后两局中任意赢一局的概率为1－(1/4)=3/4，甲有75%的期望获得100法郎；而乙期望赢得100法郎就得在后两局均击败甲，乙连续赢得后两局的概率为(1/2)*(1/2)=1/4，即乙有25%的期望获得100法郎奖金。

可见，虽然不能再进行比赛，但依据上述可能性推断，甲乙双方最终胜利的客观期望分别为75%和25%，因此甲应分得奖金差慎的100*75%=75(法郎)，乙应分得奖金的的100×25%=25(法郎)。这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来。

需要注意的是，期望值并不一定等同于常识中的“期望”——“期望值”也许与每一个结果都不相等。期望值是该变量输出值的平均数。期望值并不一定包含于变量的输出值集合里。大数定律表明，随着重复次数接近无穷大，数值的算术平均值几乎肯定地收敛于期望值。

如果随机变量只取得有限个值或无穷能按一定次序一一列出，其值域为一个或若干个有限或无限区间，这样的随机变量称为离散型随机变量。离散型随机变量的一切可能的取值与对应的概率乘积之和称为该离散型随机变量的数学期望 （若该求和绝对收敛）。它是简单算术平均的一种推广，类似加权平均。

数学期望怎么用？

确实，数学期望在数学的范围里是一个较为复杂，但是却十分有用的一个部分。

但是题型类型多，花样也多，有时无从下手。明知是数学期望，却找不到正确的算法解决问题。

于是，我们来分析一下：

（1）对于很大一部分的期望问题，递推是个好帮手。我们一般在草稿纸上，把题目中隐含的期望值之间的关系，然后经过计算等方法，找出一个递推式。这个递推式，不要求我们枚举每一种可能（不然就没有用递推的意义了），而是根据一些已有的，或是可以直接简单地推算出的期望值，算出其他状态下的期望。这个道理道理大家也都明白，可是有时是很难找到递推式的。这时，我们就应该用我们之前讲过的期望的定义——E(X)=∑ipixiE(X)=∑ipixi，然后再结合期望的“线性”性质和全概率、全期望公式，一步步地像“剥笋皮”一样，找到问题的核心，这样效果往往很好。

（2）另外，有决策、满足最优子结构的期望问题，我们还可以考虑人们常常与“递推”弄混的“动态规划”。这里，我们一般用期望表示状态，期望的正负高低，就能决定这个状态的优和劣。

（3）对于上述两种方法都不能解决的，这也算是比较少了。这时，常见的尝试方法之一就是高斯消元法。我们可以先尝试建立一个线性方程组，然后进行高斯消元等操作。