平面向量的概念

一、内容及内容解析

1.内容：本单元的内容是平面向量的概念，平面向量是由现实生活中的力、位移、速度、加速度等既有大小又有方向的量抽象出来的，本单元将学习平面向量的概念、几何表示以及零向量、单位向量等特殊的向量，还将学习有特殊关系的向量，如相等向量、共线向量等.具体包含以下几个内容：

6.1.1向量的实际背景与概念；

6.1.2向量的几何表示；

6.1.3相等向量与共线向量

2.内容解析

（1）内容的本质

在现实世界中，有一些量在取定单位后用一个实数就可以表示，如人的身高、体重、年龄等，但也有一些量，只用一个实数是无法完整地来表达的，如物理中的力、位移、速度、加速度等，同样是5N的力，力的方向不同，它就是两个不同的量！这些量的共同特征是除了有大小外，还有方向.在数学中我们把这类既有大小又有方向的量抽象出来，并给出一个名称叫做向量.为了区别把那些只有大小没有方向的量叫数量.

向量不同于数量，定义了向量后自然要想到它的表示方法，这涉及两个面，一是几何表示，即画图表示，二是符号表示.因为向量具有二维属性，因此用有向线段来表示，有向线段的长度表示它的大小，箭头的指向表示它的方向；用线段上面加上箭头来表示向量（符号表示）.

接下来介绍了两种特殊的向量，零向量与单位向量都是模长特殊，它实际上是类比实数中的两个特殊的实数0和1来的.当然，零向量的方向也特殊，因为它的方向是任意的.

最后从向量之间的关系介绍了相等向量与共线向量.首先只考虑方向，把方向相同或相反的向量叫共线向量（或平行向量），进一步特殊化，方向相同、大小相等的向量叫相等向量.所以本单元的内容的研究路径是：

实际背景——抽象概括（下定义）——表示方法（几何表示、符号表示）——特殊向量（零向量、单位向量）——向量关系（相等向量、共线向量）

上面的逻辑结构非常清晰. 

（2）内容蕴含的数学思想和方法

向量具有二维属性，既有大小，又有方向，它是数和形两方面的有机结合体，因此它是沟通代数与几何的桥梁.向量的几何表示充分体现出数形结合的思想，本节的研究方法体现出一般与特殊化思想.

（3）知识的上下位关系

在物理中，学生已经学习过力、位移、速度、加速度等量，这些量在物理中叫矢量，其他只有大小没有方向的量叫标量.物理中的矢量经过进一步抽象概括就成为数学中的向量，所以本节内容是以物理中的矢量内容为基础的.本节内容是全章的起始课，也是后续研究向量的运算、数量积等内容的基础，平面向量也是后续学习空间向量的基础.

（4）内容的育人价值

向量是近代数学中重要和基本的概念之一，向量理论具有丰富的物理背景，也有深刻的数学内涵.本单元的学习中由现实背景抽象出向量的概念可以培养学生的数学抽象素养；向量的几何表示中，既体现出大小，又体现出方向，在利用有向线段表示向量的过程中培养了学生的直观想象素养.另外本单元的研究路径也是研究数学对象的一般方法，在学习中可以让学生感受到研究数学问题的套路化方法，学会数学的思考和研究问题.

（5）本单元教学重点

本节内容的重点是向量的概念、几何表示、相等向量和共线向量的概念.

二、目标和目标解析

1.本单元教学目标

（1）通过对力、速度、位移的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等、共线向量的含义；

（2）理解平面向量的几何表示和基本要素；

（3）经历由现实背景抽象出平面向量的过程，在此过程中培养学生的数学抽象素养;体会向量的几何表示的合理性，发展直观想象素养.

2．目标解析：

达成目标的标志是：

（1）知道向量是由物理中的力、速度、位移等矢量抽象出来的，明确向量的二维属性，既有大小又有方向；

（2）会画有向线段来表示向量，知道向量的基本要素（模、方向）,并能用符号表示；

（3）能找出所给图形中的相等向量、共线向量；会画相等向量与共线向量.

三、教学问题诊断分析

本节课之前，数学中所接触的量均为数量，是一维的，只有大小，而向量除了大小外，还有方向，这与学生前面的认知结构不吻合，这会引起学生对向量概念的理解困难.另外初中平面几何中的平行与共线是两码事，但在向量里，平行向量与共线向量却是同一概念，其原因是向量均为自由向量，只要保持大小和方向不变，起点可以自由移动，这对学生来说接受也有个过程.

结合以上分析，确定本单元的教学难点是：

向量概念以及共线向量的理解.

四、教学支持条件分析

本单元内容中涉及到向量几何表示，需要画图，需要画有向线段（带箭头）.向量为自由向量，可以平行移动位置，而在几何画板里，这里需求可轻而易举的实现.如画出一个单位圆，以圆点为起点，终点在圆上的向量均为单位向量，可以动态的演示；再如在几何画板里可以很轻松地自由拖动一个向量，不改变它的大小和方向，通过演示可以突破学生对平行向量（共线向量）的理解,发展学生的直观想象素养.

五、课时教学设计

第1课时  6.1平面向量的概念

一、教学内容分析

1.地位与作用

本节内容是平面向量这一章的起始课，这一节内容是全章的基础，定义了平面向量及其有关概念后，才能续研究向量的运算、平面向量基本定理等内容.

2.教学目标

（1）通过对力、速度、位移的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等、共线向量的含义；

（2）理解平面向量的几何表示和基本要素；

（3）经历由现实背景抽象出平面向量的过程，在此过程中培养学生的数学抽象素养;体会向量的几何表示的合理性，发展直观想象素养.

3.重点难点

重点：向量的概念、几何表示、相等向量和共线向量的概念.

难点：向量概念以及共线向量的理解.

二、学情分析

一方面，学生在物理中学习了矢量，对向量的学习有正迁移作用，另一方面，由于以往的数学中的量只学过数量，首次碰到有二维属性的向量，相关的概念理解起来会有困难.

三、教法学法分析

教法：问题引导、启发探究、互动讨论，几何画板辅助教学

学法：自主探究、合作交流、归纳总结

四、教学过程

环节一：实际背景，感知概念

环节二：抽象概括，形成概念

环节三：探索画法，符号表示

环节四：特殊研究，延伸概念

环节五：新知应用，巩固内化

环节六：目标检测，总结提升

五、教学反思

本课是平面向量的第一节内容，是章节起始课，主要学习平面向量的相关概念及几何表示与符号表示，本节课概念较多，理解有难度，所以如何将众多的概念按一条主线串联起来是我们必须思考的问题。

在设计的过程中我们按以下主线进行推进：实际背景——抽象概念——几何表示——（特殊化）概念延伸（单位向量、零向量）——（特殊化）两向量的关系（相等向量、共线向量），采用了由一般到特殊的思想方法来设计，自然连贯.通过设计问题串启发学生思维，推进课堂教学.采用类比位移的画法方式引入向量的几何表示,亲切自然；从向量的方向上找两向量的特殊的关系，顺理成章的引入了平行向量与相等向量，可以说本课的设计最大的亮点在于概念的形成、延伸自然平顺，水到渠成.

本课的不足在于每个内容都采用启发式，对教师要求较高，如果把握不住，就会造成推进缓慢，效率低下，完成不了教学任务的现象.