在数学领域中，基本事实和定理是两个重要的概念，它们有着不同的定义、性质、用途、证明方法和角色。

一、定义不同

基本事实指的是最基本、最基础的数学事实，是在数学研究中最早被发现和普遍认同的。基本事实通常是数学中不需要证明的公理、定义和常识。例如，直线上任意两点可以唯一确定一条直线，任意两个相等的数相减的结果是0等等。

定理则是指由基本事实推导出来的结论。定理通常是需要经过推理和证明才能得到的数学结论。例如，勾股定理、费马大定理、欧拉公式等。

二、性质不同

基本事实是数学中最基础的概念，是整个数学体系的基础。它通常是被普遍接受的，不需要证明。基本事实是数学研究的基础，是推导定理的基础，是整个数学体系的基础结构。

定理则是通过推理和证明得出的数学结论，是数学研究的成果。定理可以被证明为正确的，可以用于解决实际问题，是数学研究的目标之一。定理的正确性是需要经过证明的，证明可以使用逻辑推理、数学归纳法、反证法等方法。

三、用途不同

基本事实是数学中最基础的概念，是推导定理的基础。基本事实可以被应用于各种数学领域的研究中。例如，在代数学中，基本事实可以被用来定义向量、矩阵等基本概念；在几何学中，基本事实可以被用来定义点、线、面等基本几何概念。

定理则可以应用于实际问题，解决实际问题的方法和策略。定理可以被用于计算机科学、物理学、工程学、金融学等领域的研究中。例如，在计算机科学中，定理可以被用来证明算法的正确性；在物理学中，定理可以被用来描述物理现象。

四、证明方法不同

基本事实通常不需要证明，是被普遍接受的。基本事实通常是从观察和实验中得出的，也可以是从定义和公理中推导出来的。例如，直线上任意两点可以唯一确定一条直线是一个基本事实，它可以通过观察和实验得到。我们可以用一条直线连接两个点，如果这条直线不经过这两个点，则与这条直线相交的另一条直线必须经过这两个点。因此，直线上任意两点可以唯一确定一条直线。

定理通常需要经过推理和证明才能得到。证明定理的方法包括直接证明、间接证明、反证法、数学归纳法等。例如，勾股定理是一个定理，它可以通过直角三角形的两条直角边和斜边之间的关系得到。我们可以通过几何构造、代数运算、三角函数等方法证明勾股定理。

五、角色不同

基本事实在数学研究中扮演着最基础的角色，是数学研究的基础。在构建数学理论时，基本事实是必不可少的。基本事实被广泛接受，是数学研究的基础。

定理则在数学研究中扮演着重要的角色，是数学研究的成果。通过证明定理，我们可以得到新的数学结论，发现新的数学规律，推动数学研究的进展。定理通常是解决实际问题的关键。

总之，基本事实和定理是数学研究中的两个重要概念。基本事实是数学中最基础的概念，是整个数学体系的基础。定理则是通过推理和证明得出的数学结论，是数学研究的成果。基本事实和定理在数学研究中各自扮演着不同的角色，但都对数学研究的发展起到了重要的作用。