一、教材及学情分析

本节课是《普通高中教科书·数学》（人民教育出版社A版）选择性必修第一册第三章第一节《椭圆》第一课时。

用一个平面去截圆锥，当平面与圆锥的轴所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是圆、椭圆、抛物线、双曲线，我们通常把椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线。圆锥曲线的发现与研究始于古希腊，当时人们用纯几何的方法研究这些与圆密切相关的曲线，它们的几何性质是圆的几何性质的自然推广。17世纪初，笛卡尔发明了坐标系，人们开始借助坐标系，运用代数方法研究圆锥曲线。本章我们继续采用坐标法，在探究圆锥曲线几何特征的基础上，建立它们的方程，通过方程研究它们的性质，并解决与圆锥曲线有关的几何问题和实际问题，进一步感受数形结合的思想方法，体会坐标法的魅力与威力。

解析几何是数学一个重要的分支，它沟通了数学中数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系。在第二章中学生已初步掌握了解析几何研究问题的主要方法，并在平面直角坐标系中研究了直线和圆这两个基本的几何图形，在本章，教材利用三种圆锥曲线进一步深化如何利用代数方法研究几何问题。由于教材以椭圆为重点说明了求方程、利用方程讨论几何性质的一般方法，然后在双曲线、抛物线的教学中应用和巩固，因此“椭圆及其标准方程”起到了承上启下的重要作用。

本节内容蕴含了许多重要的数学思想方法，如：数形结合思想、化归思想等。因此，教学时应重视体现数学的思想方法及价值。

根据本节内容的特点，教学过程中可充分发挥信息技术的作用，用动态作图优势为学生的数学探究与数学思维提供支持。

二、教学目标分析

按照教学大纲的要求，根据教材分析和学情分析，确定如下教学目标：

1．知识与技能目标：

理解椭圆的定义。

掌握椭圆的标准方程，在化简椭圆方程的过程中提高学生的运算能力。

2．过程与方法目标：

经历椭圆概念的产生过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法，由形象到抽象，从具体到一般，掌握数学概念的数学本质，提高学生的归纳概括能力。

巩固用坐标化的方法求动点轨迹方程。

对学生进行数学思想方法的渗透，培养学生具有利用数学思想方法分析和解决问题的意识。

3．情感态度价值观目标：

充分发挥学生在学习中的主体地位，引导学生活动、观察、思考、合作、探究、归纳、交流、反思，促进形成研究氛围和合作意识。

重视知识的形成过程教学，让学生知其然并知其所以然，通过学习新知识体会到前人探索的艰辛过程与创新的乐趣。

通过对椭圆定义的严密化，培养学生形成扎实严谨的科学作风。

通过经历椭圆方程的化简，增强学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美。

利用椭圆知识解决实际问题，使学生感受到数学的广泛应用性和知识的力量，增强学习数学的兴趣和信心。

三、重、难点

重点：椭圆的定义、椭圆的标准方程、坐标化的基本思想

难点：椭圆标准方程的推导与化简，坐标法的应用

关键：含有两个根式的等式化简

四、教法分析

　　新课程倡导学生自主学习，要求教师成为学生学习的引导者、组织者、合作者和促进者，使教学过程成为师生交流、积极互动、共同发展的过程。本节课采用让学生动手实践、自主探究、合作交流及教师启发引导的教学方法，按照“创设情境——学生实验——意义建构——形成理论——知识应用——回顾反思——巩固提高”的程序设计教学过程，并以多媒体手段辅助教学，使学生经历实践、观察、猜想、论证、交流、反思等理性思维的基本过程，切实改进学生的学习方式，使学生真正成为学习的主人。

五、教学过程设计

（一）创设情境——提出问题

不知道同学们有没有细心观察过生活？我们知道欧洲大教堂的顶部几乎都是椭圆形的；用圆柱状水杯盛半杯水，将水杯放在水平桌面上，截面为圆形．当端起水杯喝水时，水杯倾斜，再观察水平面，此时截面为椭圆形．看来，椭圆是与圆有着密切关系的一种曲线．圆是到定点距离等于定长的点的轨迹，根据圆的定义，用一根细绳就可画出一个圆．将细绳的一端固定在黑板上，在另一端系上一支粉笔，将细绳绷紧并绕固定端点旋转一周即可．将圆心从一点“分裂”成两点，将细绳的两端固定在这两点，用粉笔挑起细绳并绷紧，移动粉笔，可画出什么图形？

设计意图：使学生产生学习兴趣和探索欲望

（二）学生实验——体验数学

1．学生通过动手实践、观察，猜想轨迹为椭圆

2．展示学生成果

3．动态演示动点生成轨迹的全过程，印证猜想

4．展示椭圆实际应用的幻灯片

5．导出新课：看来，大家对椭圆并不陌生，但细想想，我们对椭圆也说不上有多熟悉，除了“她”的名字和容貌，我们对“她”的品性几乎还一无所知．数学是一门严谨的科学，我们不能满足于直观感受、浅尝辄止，我们希望对椭圆有更深刻的认识，比如：椭圆上所有的点所具有的共同的几何特征是什么？——椭圆的定义；能否用代数方法精确地刻画出这种共同的几何特征？——椭圆的标准方程．这就是我们这节课的重点内容．

设计意图：从学生实验中导出新课，明确研究课题

（三）意义建构——感知数学

椭圆定义的初步生成

学生每2人一组，合作探究，教师巡视指导．

请学生代表本小组交流探究结论：根据椭圆画法，从中归纳椭圆定义——平面内，与两个定点的距离之和为定长（绳长）的点的轨迹为椭圆（绳长大于两定点间距离）．

（四）形成理论——建立数学

1．椭圆定义的完善

提出问题：要想用上面那句话作为椭圆的定义，要保证它足够严密、经得起推敲．那么，这个常数可以是任意正实数吗？有什么限制条件吗？

引导学生回答：在“定义”中需要加上“常数>”的限制。继续深化问题：若常数=或常数<,情况会发生什么变化？

应用平面几何中的“三角形任意两边之和大于第三边”、“两点之间线段最短”为理论依据，得出结论：当常数=时，与两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹是线段；当常数<时，与两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹不存在．

请学生给出经过修改的椭圆定义，教师用幻灯片给出完善的椭圆定义，并介绍焦点、焦距的定义．

设计意图：使学生经历椭圆概念的生成和完善过程，提高其归纳概括能力，加深对椭圆本质的认识，并逐渐养成严谨的科学作风

2．椭圆的标准方程

(1)回顾用坐标法求动点轨迹方程的一般步骤：建系设点、写出动点满足的几何约束条件、坐标化、化简、证明等价性

(2)建立焦点在x轴上的椭圆的标准方程

建系设点：观察椭圆的几何特征，如何建系能使方程更简洁？

动点满足的几何约束条件

坐标化

化简：化简椭圆方程是本节课的难点，突破难点的方法是引导学生思考如何去根号

预案一：移项后两次平方法

预案二：用等差数列法

预案三：三角换元法

设计意图：进一步熟悉用坐标法求动点轨迹方程的方法，掌握化简含根号等式的方法，提高运算能力，养成不怕困难的钻研精神，感受数学的简洁美、对称美

(3)建立焦点在y轴上的椭圆的标准方程

有些同学可能会类比焦点在x轴上的椭圆的标准方程的研究方法来研究焦点在y轴上的椭圆的标准方程，这是值得肯定的。但是工作量十分大，我们有没有简单一些的办法呢？

要建立焦点在y轴上的椭圆的标准方程，又不想重复上述繁琐的化简过程，如何去做？此时要借助于化归思想，抓住两者的联系即可化未知为已知，将已知的焦点在y轴上的椭圆的标准方程转化为焦点在x轴上的椭圆的标准方程．只需将x轴、y轴的名称换为y轴、x轴．

设计意图：体会数学中的化归思想，化未知为已知，避免重复劳动

（4）归纳概括方程特征：

区别：要判断焦点在哪个轴上，只需比较与项分母的大小即可．

联系：它们都是二元二次方程

（五）数学应用——巩固新知

思考解决课本例1~例3

其中例1的目的是使学生巩固椭圆的定义、标准方程及a,b,c之间的关系，教学中让学生独立完成。本题的解决方法既可以按课本提供的直接法，也可以用待定系数法做。

例2的教学作用有三个：第一是又一次教给学生利用中间变量求点的轨迹的方法；第二是向学生说明，如果求得的点的轨迹的方程形式与椭圆的标准方程相同 ，那么这个轨迹是椭圆；第三是使学生知道，一个圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆（可以结合课本思考）。

例3的轨迹也是椭圆，由此可得椭圆的另一种生成方式，即如果一个动点与两个定点连线的斜率之积是一个不为-1的负常数，那么它的轨迹是椭圆（需要去掉椭圆与x轴的两个交点），教学中还可引导学生思考如果这个常数为-1，或者为正常数，动点轨迹会是什么？这样的引导启发可以又一次让学生发现椭圆与圆之间的关系，提升学生发现和提出问题的能力。

设计意图：巩固椭圆及其标准方程的概念；提高思维的探究性与挑战性，理解椭圆与圆的关系；深化学生对求曲线的方程的方法。

（六）回顾反思，提炼升华

教师引导学生反思回答：椭圆的概念中的要点与需要注意的地方分别是什么；推导椭圆的标准方程时，建立直角坐标系的依据是什么；椭圆标准方程的推导给了我们怎样的启示；就一般情况而言，求曲线的方程有哪些步骤，为什么是这些步骤。

设计意图：及时梳理、提炼与升华所学知识。

（七）布置作业，及时巩固

基础性作业、选择性作业、拓展性作业

设计意图：从不同层面，不同角度让学生及时巩固所学知识，并因人而宜地发展数学学习能力。