几道思考题

1.如果用 50个1234盏彩灯，按红橙黄绿青蓝紫的顺序装扮成一个巨大的圆形，哪几种颜色的灯必定多一盏？

2.一副扑克牌，有   四花，每花有K、Q、J、A、2、3、4、5、6、7、8、9、10各一张，还有一张“大王”、“二王”。某印刷厂有 198□ 个7136张印制扑克牌的小硬版纸，如果每副牌多印“大王”、“二王”各一张作包装的封面和封底，且一张也不浪费，恰好能印制若干副扑克牌。你知道198□中的□里是几吗？

3.某厂一个车工小组有A、B、C、D、E、F、G计7人，A是组长。1989年该组的加工任务是 67个7989个同种零件。如果规定组长只加工组员的一半，任务能完成吗？剩下的由组长加工，组长还要加工几个零件？

4.每个字母都占据一个数位，且不同字母表示不同的数字。

⑴如果   abcdab

       －cdabcd 

         683169, 那么四位数abcd是        ，答案有          个。

⑵如果  abcdab

      ＋cdabcd 

       1090908 , 那么四位数abcd是        ，答案有         个。

四位数的特点

上面的思考题有一定的趣味性，要正确地解答它，并非是轻而易举的。这几道题中的数据，都是有四位数连写若干次组成，或是四位数连写三次后再分成前后两个六位数的。看来，解题的关键是在四位数了。我们先来讨论四位数的特点。

一  任意一个四位数（如7234）连写三次，组成的十二位数（如723472347234）一定能被3、7、13、37整除。证明如下：

设：一个四位数的千位数字为a,百位数字为b,十位数字为c,个位数字为d。该四位数记作abcd ,该数连写三次组成的十二位数记作abcdabcdabcd。

∵ abcdabcdabcd = abcd×100000000 ＋ abcd×10000 ＋abcd  ×1

=abcd×100010001=abcd×3×7×13×37×9901,

∴ abcdabcdabcd 能被3、7、13、37整除。

二    把一个四位数（abcd ）连写三次组成的十二位数，分成前后两个六位数。⑴这两个六位数的和，一定是这个四位数的前两个数字组成的两位数（ab），与后两个数字组成的两位数（cd ）之和的10101倍，因此一定能被3、7、13、37整除；⑵这两个六位数的差，一定是 ab与cd 之差的9901倍。证明如下：

⑴∵  abcdab＋cdabcd

＝ab×10000＋cd×100＋ab×1＋cd×10000＋ab×100＋cd×1

＝ab×（10000＋100＋1）＋cd×（10000＋100＋1）

＝（ab＋cd）×10101

＝（ab＋cd）×3×7×13×37

∴abcdab＋cdabcd能被3、7、13、37整除。

⑵ abcdab－cdabcd

＝ ab×10000＋cd×100＋ab×1－（cd×10000＋ab×100＋cd×1）

＝ ab×（10000－100＋1）－cd×（10000－100＋1）

＝ (ab－cd ) ×9901

知道了四位数的这些特点，再来解前面几道思考题，就不难了。愿你试试看。

题解、答案

第一题    彩灯有7种。1234 1234 1234  能被7整除。

∴红色、橙色、黄色的彩灯各多一盏。

第二题   根据题意，每副扑克牌要用56张小硬板纸。56＝8×7，7136能被8整除。7136 7136 7136 能同时被8和7整除，即被56整除。于是，问题就成了198□能被3整除。显然□中可以是0、3、6、9。

第三题   把组长的任务看作一份，每个组员便是2份，全组共13份。完全按规定做，任务不能完成；组长还要加工剩下的7个。解法同第一题。

第四题   题中的两个六位数是四位数abcd连写三次组成的十二位数，从中分开得到的。

⑴两个六位数的差是683169，所以ab－cd＝683169÷9901＝69；而本题的答案还须注意a≠b≠c≠d,且c≠0。它们依次是7910、8213、8314、8415、8516、8617、8920、9021、9324、9425、9526、9627、9728。共13个。

⑵从ab＋cd＝108出发，可以求出本题的所有答案：1098、9810，1296、9612……共20组，40个。