数学上有许多神奇的常数，比如我们非常熟悉的圆周率π，少年派甚至能记住它的小数点之后n（n=？满满一黑板，小编数不过来……）位。π的含义很直观易懂——它是圆形周长与直径的比值。

还有一个大家经常遇到的常数，比起π，它的由来却并不那么为人所知，显得很神秘。
它就是自然常数e。

包含有e的对数螺线的形状不仅看上去十分优美，它还是自然界中事物极为普遍的存在形式。比如：鹦鹉螺贝壳的图形、蜘蛛网的结构、螺旋星系的旋臂、低压气旋的外观……都与对数螺线相似。

e是一个无限不循环小数，也是一个超越数。

它小数点后100位为

e=2.7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 4709369995 9574966967 6277240766 3035354759 4571382178 5251664274……

看起来很头晕吧！一点规律也没有呀。那它到底是怎么来的？

e的定义：
与π的定义（圆周长除以直径）不同，e的定义要稍微费解一些。最常见的一种定义，写出来是下面这个样子。

π的诞生，离不开人们对圆的性质的探索。那么，e又是怎么来的呢？
你大概想不到，其实是为了——算钱。

假设你手里有1块钱。现在，你把它存入“科学世界银行”，这家慷慨的银行决定支付给你每年100%的利息。1年期满，你的账户里有多少钱呢？
这很好算。我们将1年期满时账户里的钱记作M，则有：

M=1（本金）+1×100%（利息）=2

也就是2元。

之后，银行决定再慷慨一次，利率仍为100%，但改为1年计息2次（每半年1次，相当于半年利率50%）。这时，M又是多少呢？
这次的计算要复杂一些，主要是多了“本息合计后再次计息”的步骤，这就是所谓的“复利”。不过，只要抓住问题的核心，计算起来也并不困难。由于每次计息时的利率是100%/2=50%，因此每次计息后，M都会增长为之前的（1+50%）倍。所以， 2次计息后，M就会增长为最初本金的（1+50%）²倍，即

M=1×（1+100%/2）²=1×2.25=2.25

由此，如果银行1年计息N次、每1/N年计息1次（相当于每次利率为100%/N），则

M=1×（1+100%/N）^N

如果改为1年计息3次，则M=2.3703703704……元。更多的计息情况，请参见表1。

表1  计息次数与数值的关系1

不难发现，计息次数越多，最后你账户里的钱就越多。那么，是不是次数无限制地增加下去，账户里的钱也会无限制地增加呢？
为了便于思考，不妨让电脑继续帮我们计算下去，结果请见表2。

表2 计息次数与数值的关系2

不错，M的确是在迅速增加，但M值的增速却越来越慢。N从1000增加到1亿，增长了10万倍；而M值的增幅则完全不成比例，仅仅是可怜的万分之5！
再仔细观察一下，M似乎有一种收敛于某个数值的趋势，而这个数值，很可能就在2.718281……附近。

至此，一个简单的复利计算问题，开始朝着我们之前完全没有预想到的方向伸展开来了。

那么，它真的会止步于某一个特别的数值吗？哪些头疼脑热的数学家把它想出来的呢？伯努利和欧拉都对它做了些什么？它这么傲娇，除了数学课，在实际生活中到底有没有用处呢？

欧拉和他的“欧拉恒等式”

更多关于e的精彩介绍，请阅览最新《科学世界》第4期“科史钩沉”栏目文章：e的故事。

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