有限元方法历史简介

取自Wikipedia的免费百科全书

数学有限元方法（FEM）是用来求偏微分方程式（PDE）的近似解，也求积分方程式，例如热传输方程式。求解方法是基于完全取消微分方程式（稳态问题），或把偏微分方程式（PDE）译成等效的常微分方程式，然后采用像有限差等标准的技术求解。

在解偏微分方程式时，主要的挑战是创建近似研究的方程式，但数字稳定，这意味着在输入数据和中间计算都不会聚集错误，并造成无意义的输出结果。有许多这么做的方法，它们都有各自的优缺点。对于求解复杂域（像汽车和油管道）偏微分方程式，或当希望在全部范围精确变化时，有限元方法是好的选择。例如，在模拟地球气候模式时，在土地和完全开放的海域之上有着准确的预测是非常重要的，采用有限元方法，这个要求是可以做得到的。

1  历史

有限元方法起源于需要解决市政工程和航空工程方面复杂的弹性结构分析问题。它的开发可以追溯到A.Hrennikoff（1941）和R.Courant（1942）的工作。虽然这些先驱者使用这些方法，并且引人注目的不同，但他们都共享一个基本的特性：把连续域的网格离散化进入一组离散的子域里。Hrennikoff的工作是采用格子使域离散，而与之类似，为了求解起源于汽缸扭转的问题的二阶椭圆的偏微分方程式（PDEs），Richard Courant的方法是把域划分成有限的三角形子域。对于由Rayleigh，Ritz和Galerkin开发的偏微分方程式（PDEs），Richard Courant的贡献是改进，绘制了大量的早期结果。针对机身和结构分析的有限元方法的开发最早开始于1950年代中期，并且用于市政工程的有限元方法许多是1960年代在伯克利开始启动（见伯克利早期有限元研究）。在1973年Strang和Fix出版的《有限元方法的分析》里，提供的方法采用了严格的数学基础，并且已经在广泛变化的工程学科，即电磁和流体力学里，针对物理系统的数字建模，归纳成为应用数学的分枝。

在结构力学里，有限元方法的开发常常是基于能量理论，即虚功原理或最小总潜能原理，对于结构工程师来说，早就强烈要求提供综合的，直觉的和物理的依据。

2  技术讨论

我们将从可以推断的普通方法里取二个简单问题来举例说明有限元方法。我们假设读者是熟悉微积分学和线性代数。我们将采用一维空间

  http://s10/middle/5a677b69g8bcadeaf2af9&690

式中f是假设的，而u是x的未知函数，并且u〞是与x有关的u的二阶导数。二维空间取样问题是狄利克雷问题

http://s5/middle/5a677b69g8bcadf4bdda4&690

式中Ω是在（x，y）平面内连接开区域，那些边界是“和谐的”（即平滑流形或多边形），并且u_xx和u_yy，分别表示与x和y有关的二阶导数。

通过计算不定积分，可以“直接”求解问题P1。然而，只有当只有一个维度空间时，才使用这个方法求解边界值问题，并且不推广到更高空间的问题，或像u+u”=f问题。出于这个原因，我们将针对P1开发有限元方法，并且略微叙述它对P2的广义性。

我们的解释将发生在二个步骤里，反映出二个本质的步骤，第一步必须采用有限元方法（FEM）求助于求解边界值问题（BVP）。在第一步，在它的弱或变分形式上重新描述初始的边界值问题（BVP）。通常这一步几乎不需要作计算，只是在纸上手工进行转换。第二步是离散化，在有限的维度空间里，把弱形式离散化。在这个第二步之后，对于大的，但是有限空间的线性问题，我们有具体的公式，那些解将近似解答初始的边界值问题（BVP）。然后就在计算机里执行这个有限的空间问题。

3   变分公式化

第一步是把P1和P2转换为它们的变分公式。如果u求解P1，那么对于任何平滑函数v，我们有

http://s16/middle/5a677b69g8bcae58a475f&690

反过来，如果对于假设的u，⑴控制每个平滑函数v(t)，那么一步就可以显示这个u将求解P1。（证据是非平凡的，并且采用Sobolev空间）

通过在⑴的右边采用部分积分法，我们获得http://s2/middle/5a677b69g8bcae715b991&690

式中我们已经做了另外的假设v(0)=v(1)=0。

4.1      存在的证据概要和解的唯一性

我们可以定义http://s10/middle/5a677b69g8bcaf13037f9&690也是内积，这次在Lp空间L²(0，1)。针对Hibert空间的Riesz表示法则显示有一个唯一的u解⑵和因此的P1。

4.2      P2的变分形式

如果我们采用Green的理论做部分积分，我们看到如果u求解出P2，那么对于任何v：

http://s1/middle/5a677b69g8bcb004e1a00&690

式中http://s1/middle/5a677b69g8bcb03ce8120&690

 里，能够把更多的Φ转换成为点积，那么 http://s13/middle/5a677b69g8bcb0769700c&690

可能不再按照有界变分来定义，而是看Sobolev空间。也可以显示解的存在和唯一性。