一、 考试要求

1、 理解闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理，有界性定理，介值定理），并会应用这些性质。

2、 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理、理解（了解）并会（数一、二）用泰勒定理，了解并会（数一、二）用柯西中值定理。掌握这四个定理的简单应用（经济）。

3、 掌握（了解）定积分中值定理。

 

二、 内容提要

1 介值定理：设 在闭区间 上连续，且 则对介于 与 之间的任何一个数 ，在 内至少存在一点  使得

 

注1）   若去掉条件 而 (或 ，则 只能在闭区间 上。

注2）   设M和m 分别是 在闭区间 上的最大值和最小值。如果 ，则 ；如果 ，则 ；

注3）   （根的存在性定理）设 在闭区间 上连续，且 则在 内至少存在一点  使得

 

     2 罗尔定理：设 在闭区间 上连续，在开区间 中可微，且  则在 内至少存在一点  使得

3 拉格朗日中值定理：设 在闭区间 上连续，在开区间 中可微，则在 内至少存在一点  使得  

    4 柯西中值定理：设 在闭区间 上连续，在开区间 中可微，且  则在 内至少存在一点  使得 。

5 泰勒公式（定理）：若f(x)在点 的某邻域内具有直到(n+1)阶的导数，则

   

     +                  （具有拉格朗日型余项）

注：① 若f(x)在点 的某邻域内只具有n阶导数, 则  

     +                         （具有皮亚诺型余项）

    ② 麦克劳林公式：

，

 

在需要用到泰勒公式时，必须要搞清楚三点：

1．展开的基点；

2．展开的阶数；

3．余项的形式．

其中余项的形式，一般在求极限时用的是带皮亚诺余项的泰勒公式，在证明不等式时用的是带拉格朗日余项的泰勒公式．

而基点和阶数，要根据具体的问题来确定．

 

 

6 积分中值定理：设 在闭区间 上连续，则至少存在一点 ，使得 。

证明（08-2）：

 注  积分中值定理的一般形式 ：设 在闭区间 上连续， 在闭区间 上可积且函数值不变号，则至少存在一点 ，使得 。

证明（02-34）：

 

三、 典型题型与例题

题型一 、与连续函数相关的问题（证明存在 使 或方程f(x)=0有根）

方法：大多用介值定理    f(x)满足：在[a,b]上连续；f(a)f(b)<0.

思路：1）直接法

      2）间接法或辅助函数法

 

例1、设 在[a,b]上连续， ，证明存在  ，使得 

 

分析：用介值定理

 

例2、设 在[a,b]上连续、单调递增，且 ，证明存在  使得   

分析：令

    

 

 

例3、（理工P80例3、15，经济P77例3、15） 设f(x)在[0,1]上连续，且f(x)<1.  证明： 在(0,1)内有且仅有一个实根。

【证明】令 ，则

 

且                   .

由根的存在性(利用零值定理)知：在(0，1)内存在唯一的 ，使得

，

即  在(0，1)内有且仅有一个实根.

*例4、（理工P80例3、13，经济P76例3、15）设 在[a,b]上连续且 ，证明存在 使得    。

分析：令

    

【证明】令               

则               

又                 

故由连续函数的介值定理知：在( )内存在唯一的 ，使得 ，即

.

 

 

 

 

题型2 证明存在 , 使 (n=1,2,…)

方法：1）用费马定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理；

2）多次用罗尔定理）

    [a,b] ,

      j=1,2,…,n

      k=1,2,…,n-1

  

  

 

例5、设实数 满足关系式 ，证明方程

   ，在 内至少有一实根。

 

 

 

 

 

例6、设 在[a,b]上连续，证明存在 使得

         

分析：1、令

 

2、再令

 

     可取

 

 

例7、设 在[a,b]上可导且 ，证明至少存在一个

使得

分析：不妨设

，

当 时，

同理 时，

在 内取得最大值，用费马定理。

 

例8、（理工P82例3、21，经济P79例3、21）设 在[0,3]上连续，在（0,3）内可导，且 ，证明存在一个 使得

分析：1、存在 使得

      2、在 上用罗尔定理

【详解】因为 在［0,3］上连续，所以 在［0,2］上连续，且在［0,2］上必有最大值M和最小值m，于是

m≤f (0)≤M，m≤f (1)≤M，m≤f (2)≤M.

故                                         m≤ ≤M.

由介值定理知，至少存在一点c∈［0,2］，使

 

因为 ，且 在［c,3］上连续，在(c,3)内可导，所以由罗尔定理知，必存在 ，使 .

【评注】介值定理、微分中值定理与积分中值定理都是常考知识点，且一般是两两结合起来考.本题是典型的结合介值定理与微分中值定理的情形.如

（07数1-4） 设 在 上连续，

它们在 内具有二阶导数且取得相等的最大值，证明：存在  使得 。

 

 

 

 

例9 (08-2,11分)  证明 (I)证明积分中值定理：若函数f(x)在闭区间[a, b]上连续, 则至少存在一点 , 使得

 (II)若函数 具有二阶导数, 且满足 , 证明至少存在一点 , 使得

【详解】(I)设M及m分别是函数f(x)在区间[a, b]上的最大值及最小值, 则

 

即有  , 根据闭区间上连续函数的介值定理知：存在 , 使得  ,  即 

(II)由(I)的结论, 可知至少存在一点 , 使

  

又由 知, 

   对 在[1, 2]和 上分别应用拉格朗日中值定理, 并注意到 , , 得

,

 

在 上对导函数 应用拉格朗日中值定理, 有

                     

*例10、（理工P83例3、22，经济P79例3、22）设 在[0,2]上连续，在（0，2）内具有二阶导数且 ，证明存在 使得

分析：1、 ，

      2、用积分中值定理有 ，使得

      3、两次用罗尔定理

【证明】由 知

 

且

 

再由 ，知 ，使

,

即                                            

在［ ］上应用罗尔定理， ，使 .

再在 上对 应用罗尔定理，知 ，使

 

题型三、 证明存在 , 使

方法：1）用罗尔定理（原函数法，常微分方程法），

2）直接用拉格朗日中值定理和柯西中值定理（要求a,b分离）

思路：1） 换为

2）恒等变形，便于积分

3）积分或解微分方程

4）分离常数：

即为辅助函数

(1)  用罗尔定理

 1)  原函数法:

    步骤：将x换为x; 

          恒等变形，便于积分；

          求原函数，取c=0； 移项，得F(x).

例11、（理工P85例3、28，经济P82例3、28）设 在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且 ，求证存在 使得

分析：令

      在 上满足罗尔定理

 

 

 

 

 

例12、（理工P84例3、26，经济P81例3、26）（0134）设f(x)在[0,1]上连续，(0,1)内可导，且

           

    证明：在(0,1)内至少存在一点x, 使

[证]  F(x)=x f(x).

     

 

 

 

 

例13、  设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)f(b)>0,f(a)  g(x)在[a,b]上连续，试证对 .

[证] 

 

 

 

 

*例14、 设f(x)在[0，1]上连续，在（0，1）内一阶可导，且 .

试证： 使得 .

   [证]  令 ，则F(0)=F(1)=0. 又

  

于是 ，使   ，即

设    则 ，使得

，即  .

 

 2)  常微分方程法:

     适用:

     步骤：

           解方程 

           令 

例15、（理工P86例3、29，经济P82例3、29）设 在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且 ，证明存在 使得

分析：解微分方程 得

   ，即

令

 

*例16、设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且 f(0)=0,    f(1)=1,

证明：对任意实数  , 使得

  [证]       

            

           , 

    或用微分方程法：

         

     即         ， 故

 

(2)       直接用拉格朗日或柯西中值定理

例17、（理工P87例3、33，经济P84例3、33）设 在 上连续，在 内可导，求证存在 ，使得

   

     取F(x)为xf(x)

 

 

 

例18、（理工P88例3、34，经济P84例3、34）设 在 上连续，在 内可导，求证存在 ，使得

 

 

取F(x)为xⁿf(x)

 

 

 

 

例19、设 在 上连续，在 内可导 ，求证存在 ，使得        

     取g(x)为lnx

 

 

 

 

 

例20、（理工P88例3、35，经济P85例3、35）设 在 上连续，在 内可导 ，求证存在 ，使得     

    取g(x)为x³

 

 

 

 

 

题型五、 含有 (或更高阶导数)的介值问题

方法：1）原函数法（对 仍用微分中值定理:罗尔定理，拉格朗日，柯

西中值定理）；

2）泰勒公式

例21、（理工P86例3、31，经济P83例3、31）  设f(x)在[0,1]上二阶可导，且f(0)=f(1), 试证至少存在一个 , 使

   证   原函数法:

          

           , 

     令 , 

          ,  从而易证.

 

 

 

例22*、 设f(x)在[－1, 1]上具有三阶连续导数，且f(-1)=0, f(1)=1, f¢(0)=0, 证明: 在(-1,1)内存在一点x，使得

     证  由泰勒公式得

     

其中x 介于0与x之间，

       分别令x=-1和x=1，并结合已知条件，得

          

       

两式相减，可得

       

进而由介值定理可证  .

      

 

题型六、 双介值问题

    方法：1）同时两次用拉格朗日中值定理或柯西中值定理

          2）用一次后再用一次中值定理

例23、（理工P89例3、36，经济P85例3、6）设 在[a,b]上连续，在(a,b)内可导， ，求证存在 使得

分析：用两次中值定理

 

 

 

 

 

例24、（051，12分）已知函数 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且

证明：（1）存在 ，使得

     （2）存在两个不同的点 使得

 

【分析】 第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论.

【详解】 （I） 令 ，则F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=-1<0, F(1)=1>0,于是由介值定理知，存在  使得 ，即 .

（II） 在 和 上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点 ，使得 ，

于是  

【评注】 中值定理的证明问题是历年出题频率最高的部分，而将中值定理与介值定理或积分中值定理结合起来命题又是最常见的命题形式.

题型7、 综合题

  [例25] (98数1)  设y=f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数.

    (1)  试证存在 , 使得在区间[ ]上以 为高的矩形面积，等于在区间[ ]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积.

   (2)  又设f(x)在区间(0,1)内可导，且 证明(1)中的x₀是唯一的.

    [证]  (1) 要证    

        令   ?

        改为 

       (2) ,  唯一.

 

*例26、（理工P111例3、84，经济P106例3、82）（011，7分）

   设函数 在（-1,1）内具有二阶连续导数，且 ，试证

（1）    对于(-1,1)内的任意 ,存在唯一的 使得

             成立

（2）

[证] （1）拉格朗日中值定理，单调性

（2）泰勒公式： 在0与x之间

 

 

 

或：由

 

 

 

 

*例27、（理工P112例3、85，经济P107例3、83）设e<a<b, 求证：在(a,b)内存在唯一的点ξ，使得

     

[证] 

为证唯一性，再证

 

令

 

唯一性.