三、 典型题型与例题

    重要提示：计算线面积分之前，应尽可能把曲线、曲面方程先代入被积函数进行化简，但转化为格林公式或高斯公式后，却不能再代入计算！

    题型1 对弧长的曲线积分的计算方法

    方法： , (注：a<b), 则

            

    特别有 ‚  

            

           ƒ  

            

   注：第一类曲线积分具有对称性：

1）  设L关于x=0对称，则

                 L₁是L的右半部分

2）  设L关于y=0对称，则

                 L₁是L的上半部分

3）  轮换对称性：若x与y互换，L不变，则

     

 

   例1 （理工P249例8、5）计算

   [解]  

例2（理工P250例8、8） 计算

例3 已知连续函数 ，求 ，其中 为 与 的交线。

题型2 对坐标的曲线积分的计算方法

    方法：

     参数法  设L: x=x(t), y=y(t),  t: , 则

      

       注意特例：L: x=x, y=y(x),  或L: x=x(y), y=y

     ‚ 格林公式

            注意含奇点的处理！

    ƒ 若L不闭，加边L₁，使L+L₁闭合，再用格林公式：

        ,  注意L₁的方向！

    „ 若，则可用积分与路径无关求解

        

    注：空间曲线积分常用方法：参数法或Stokes公式，但参数法往往更简单。

例4 （理工P250例8、9） 计算

          

[解]  

 

例5  （理工P250例8、10）计算其中L是以(1,0)为中心，半径为R(>0,R¹1)的正向圆周。

[解]

比较（07-1）：设曲线 过第二象限点M和第四象限N，是L上从M到N的一段弧，则下列积分小于0的是[     ]

A ，  B ， C ， D

例6 （04数1）计算 其中L为正向圆周 在第一象限的部分。

[解] （三种方法）

法一：  

比较*（08-1）计算曲线积分 , 其中L是曲线y=sinx上从点(0,0)到点 的一段.

【详解1】 =

【详解2】 添加x轴上从点 到点(0,0)的直线段 , D为L与围成的封闭区域, 则

=

=

=

=

【评注】封闭曲线 取负向, 所以用格林公式时应注意前面取负号.

 

 例7 （理工P251例8、12）计算其中L为自点A(-1,0)沿至B(2,3)的弧段。

   [解]  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

例8* 设函数f(x,y)在区域D： 上有二阶连续偏导数，且

, 证明

    

    证 

        =

        =

       =

其中 是半径为r的圆.

例9 （理工P252例8、15）（逆问题) 已知曲线积分 ，其中 是非负可导函数且 , L是绕原点(0,0)一周的任意正向闭曲线，试求出 及A.

解   

例10*(逆问题)设x>0时f(x)连续可微，且f(1)=2,对右半平面(x>0)内任意闭曲线C有   1）求f(x); 

2)计算  其中L是由A(1,0)到B(2,3)的一段弧

   [解] 1）由题设，得

       

由  解得  

2）因积分与路径无关， 选取沿 路径

 

 

  例11* 已知 ，试确定使方程

          

成为全微分方程，并求上述方程满足初始条件 的特解.

[解] ， ，

由   ，

即         .

令 ，则    ，即

         

对应齐次方程组的通解为  

设特解为 ，

即有         

由 ，得   故

 

 题型3 对面积的曲面积分的计算

     计算步骤：

         

         ‚

   注：第一类曲面积分具有对称性：

设Σ关于x=0对称，则

                  Σ₁是Σ的 部分

类似地有关于y=0,z=0的对称性情形

轮换对称性：若x，y，z互换，Σ不变，则

 

例12 设有曲面 ,它的面密度为 ,求它的质量.

[解]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

例13* （理工P254例8、19）计算曲面积分，其中 为球面：

.

   [解] 由对称性有

故

 

 

题型4 对坐标的曲面积分的计算方法

   直接利用与第一类曲面积分的关系

 ‚矢量点积法（投影轮换法）

   设  , 则的法矢量为 , 于是由上述公式知

       

若题设 的侧与 一致取正，否则取负。

特别：

         

                  或  

        注：若投影为xoy平面上一条直线，则

 ƒ 利用高斯公式

       1) 闭，且P、Q、R有连续一阶偏导

           

       2) 非闭+ 为闭，则

           注意侧的选择

例14（理工P257例8、24） 计算 ，其中 是锥面 被平面z=1和z=2所截出部分的外侧。

   [解]  

           .        

        

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

比较 * （i）（07-1）求 ，其中 是曲面 的上侧。（答案： ）

   （ii）（08-1）求 ，其中 是曲面 的上侧。（答案： ）

（iii） (98数1) 计算 ，其中 为下半球面 的上侧，a为大于0的常数。

   [解] 先化简    

   补  , 其法向量与z轴正向相反，从而得

       

         =  

         =

 

例15  设 ，求积分

，其中 是向量场 的旋度，S是锥面 在xoy平面上方的部分，单位法向量 指向锥外.

[解]   

       

       

 

 

 

      

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

例16* 设对于半空间x>0内任意的光滑有向封闭曲面S ,都有

          

其中函数f(x)在(0,+¥)内具有连续的一阶导数，且求f(x).

[解] 由题设和高斯公式得

        

           ，

其中 为S围成的有界闭区域， 号对应曲面取外侧或内侧。由S的任意性，知    . 即 ，

这是一阶线性非齐次微分方程，其通解为

由于  故必有 ，即C+1=0，从而C= -1.

因此有       

例17 计算 ，其中

1)      是球面： 外侧，

2)      是不含原点在其内部的光滑闭曲: 外侧，

3)      是含原点在其内部的光滑闭曲面: 外侧

   [解]   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 例18*．设 是以 为边界的光滑曲面，试求连续可微函数使曲面积分

  与曲面 的形状无关。

解：以 为边界任作两个光滑曲面 ， 的法向量指向同一侧。记 为 所围闭曲面，取外侧， 所围区域为口。依题意 ，( 的反向)

由高斯定理

è  

代入上式

==〉

==〉  ==〉  

 

 

第三部分      多元函数的在几何上的应用

1  方向导数与梯度

     设z=f(x,y,z), 单位方向向量

     则方向导数： 

           梯度：

    注：① 为方向导数的最大值。

        ②

2  空间曲线G的切线和法平面

             

      如果 在 处可微，则L在 的切线：

    法平面：

3        空间曲面S：F(x,y,z)=0 的切平面和法线

函数 在 处可微 S在点 存在切平面和法线，并且过点 的切平面：

        法线： 

例1* 过曲面 上点 处的指向外侧的法向量为 ,求函数 在点P₀处沿方向的方向导数.

[解]  F(x,y,z)= ,

外法线方向余为

又 

例2*设函数f(x,y)在点（0，0）附近有定义，且，则

（A）

（B） 曲面z=f(x,y)在点(0,0,f(0,0))的法向量为{3,1,1}.

（C） 曲线 在点(0,0,f(0,0))的切向量为{1,0,3}.

（D）曲线在点(0,0,f(0,0))的切向量为{3,0,1}.        [  C  ]

[解] 题设只知道一点的偏导数存在，但不一定可微，因此可立即排除（A）；至于(B),(C),(D)则需要通过具体的计算才能进行区分，令F(x,y,z)=z-f(x,y) ,则有

      

因此过点(0,0,f(0,0))的法向量为±{-3,-1,1}，可排除(B)；曲线 可表为参数形式：，其在点(0,0,f(0,0))的切线方向向量为 ，故正确选项为（C）.

【注】 由于存在偏导数并不一定能保证函数可微分，因此，不一定能保证曲面z=f(x,y)在相应点处存在切平面，因此即使将选项(B)换为法线向量（3，1，-1）或（-3，-1，1），选项(B)依然为错。

例3* 求椭球面 上某点M处的切平面 的方程，使平面 过已知直线

[解] 令 ，则

     ， ，

椭球面在点 处的切平面 的方程为

        

即       

因为平面 过直线L,故L上的任两点，比如点应满足 的方程，代入有  又因

           

联立求解以上三个方程，得到    故所求切平面的方程为  x+2z=7 和 x+4y+6z=21.

例4* 求曲面 平行于平面2x+2y-z=0的切平面方程.

[解] 令 ，则  设切点为 ，则切平面方程为

     ，

它与题给平面平行，有

            和

由此得切点坐标为  故所求切平面方程为2x+2y-z-3=0.

 例5* 确定常数 ，使在右半平面x>0上的向量为某具有连续二阶偏导二元函数u(x,y)的梯度，并求u(x,y).

【分析】 平面单连通区域内向量场 为某二元函数u(x,y)的梯度，相当于有，从而 ，由此可定出在此基础上，根据积分与路径无关可得

[解] 令 ， ，由题设，有

，即   

可见，当且仅当 时，所给向量场是梯度场. 在x>0的半平面内任取一点，比如(1,0)作为积分路径的起点，则根据积分与路径无关，有

         

=  其中C为任意常数.

【评注】 向量场 是梯度场 =

     是全微分方程

   积分 与路径无关

例6* 设直线 在平面 上，而平面 与曲面：相切于点(1,-2,5)，求a,b之值.

[解] 在点(1,-2,5)处曲面的法向量 ，故切平面即平面 的方程为

          2x-4y-z-5=0                              (1)

直线 的方向向量为

于是

由于直线        

在平面 上，故满足式(2)和式(3)的x,y,z必满足式(1). 实际上，式(2)加式(3)得

                2x-4y-z+b-3=0,

与式(1)比较，得b-3=-5，即b=-2

 

第一部分   三重积分

一、 三重积分的概念与性质（类似二重积分）

二、三重积分的计算 1） 直角坐标下计算三重积分

（i）“先一后二”法

     若 ，则

（ii）：“先二后一”法(适用于旋转体或垂直于某轴的截面的面积为已知的情形

2） 柱面坐标下

3）球面坐标系下

三、三重积分的对称性

  1） 对称性  若关于xoy(z=0)平面对称，而 是 中对应于 的部分，则

关于xoz或yoz平面对称时，也有类似的结果.

   2） 轮换对称性

若 为： ，（或

则  

四、重积分的应用**

   1 曲面的面积 ，S=

   2 质量    （其中为密度函数，下同）

    3 重心  ， ，

    4 转动惯量 

   5 引力：空间立体 对位于点 处的单位质点引力

       ， ，

其中

 

五、典型题型与例题

 

例1 化 为三次积分，其 中W为 及  所围成的闭区域

  解：  

 

 

 

 

 

 

 例2 计算 , 其中W为平面曲线  绕z轴旋转一周形成的曲面与平面z=8所围成的区域。

[解]  

 

 

 

      例3* 计算 , 其中W是由圆柱面 ,旋转抛物面 所围成的区域。

    [解]  

 

例4 计算

[解]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

例5 计算    ，其中W 是由  和  所围空间闭区域。

 解：  

 

 

 

 

 

 

 

 

例6* 设密度为1的立体由不等式 表示，试求 绕直线x=y=z的转动惯量.

[分析] 点 到直线 的距离为

     

[解] 质点m对直线L的转动惯量为 ，d是质点到L的距离. 上任意点(x,y,z)到直线L的距离的平方

 

所求转动惯量为

=

=

=

例7* 设f(u)具有连续的导数，f(0)=0,求

[解] =

 

 

   

第二部分 曲线、曲面积分及场论初步

一、 考试内容与要求

   (一) 两类曲线积分

   1 对弧长的曲线积分(第一类曲线积分)

   (1) 定义：

   (2) 性质：1) 与积分路径的方向无关，即

            2) 可加性

   2对坐标的曲线积分(第二类曲线积分)

   (1) 定义：

   (2) 性质：1) 与积分路径的方向有关，即

             

            2) 可加性

  

   注：以上两种曲线积分可分别推广到空间中去。

   3 两类曲线积分之间的联系

   (1)   

是有向曲线弧L的切线向量的方向余弦，这切线向量的指向与L的方向一致。

   (2)与（1）类似：

 

 

   (二) 两类曲面积分

   1 对面积的曲面积分(第一类曲面积分)（07考）

   (1) 定义：

   (2) 性质：1) 与曲面 的侧面选择无关，即

           ，其中－为曲面 的另一侧

           2)可加性 ,

                 其中

 

   2对坐标的曲面积分(第二类曲面积分)

   (1) 定义：  

   (2) 性质：1) 与积分曲面的侧有关，即

       

            2) 可加性

      

               ， 其中

 

   3 两类曲面积分之间的联系

    

                        =

其中 为曲面 在点(x,y,z)处的法线的方向余弦。

 

    (三) 场论初步

    1 方向导数

      设三元函数 在P(x,y,z)处可微，过P(x,y,z)点的有向线段L的方向余弦为 ，则

     

    2 梯度(gradu)

     设数量场u(x,y,z)具有连续的偏导数,则grad

  注：沿梯度方向的方向导数为

    3 散度(div )

    设 , 则 div

    4 旋度(rot )

    设 , 则

          rot

   5 流量**

设有向量场 ，F沿定向曲面S的流通量为

   

           = .

 

二、 重要公式与结论

    1  格林公式

    设函数P(x,y),Q(x,y)及其一阶偏导数在闭区域D上连续，则

            

其中L是D的边界曲线且取正向。

    注： P,Q及其一阶偏导数要求连续，

        ‚ L封闭且取正向(沿L前进时域D总在左手边)。

    2 高斯公式

    设P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)在闭区域W上具有一阶连续偏导数，

则     

其中 是闭域W的边界曲面的外侧。

    注： P,Q,R及其一阶偏导数要求连续，

        ‚ 应取外侧。

    3 斯托克斯公式

    设P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)在曲面 所张成的空间域W内有一阶连续的偏导数，L为曲面的边界曲线，则

       =

其中曲线L的方向与曲面 所取侧的法线方向满足右手法则。

    4 平面曲线积分与路径无关的四个等价条件

    设函数P(x,y),Q(x,y)在单连通区域D上具有一阶连续偏导数，则

    1)     

    2) 

    3)  L为D中任一简单分段光滑封闭曲线Û

    4) 存在函数u(x,y)，(x,y)ÎD, 使du(x,y)=Pdx+Qdy, 此时

        ，它与路径无关Û

    5）是全微分方程，此时期通解为。

 

三、 典型题型与例题

    重要提示：计算线面积分之前，应尽可能把曲线、曲面方程先代入被积函数进行化简，但转化为格林公式或高斯公式后，却不能再代入计算！

    题型1 对弧长的曲线积分的计算方法

    方法： , (注：a<b), 则

            

    特别有 ‚  

            

           ƒ  

            

   注：第一类曲线积分具有对称性：

1）  设L关于x=0对称，则

                 L₁是L的右半部分

2）  设L关于y=0对称，则

                 L₁是L的上半部分

3）  轮换对称性：若x与y互换，L不变，则

     

 

   例1 （理工P249例8、5）计算

   [解]  

 

 

 

 

 

例2（理工P250例8、8） 计算

 

 

 

题型2 对坐标的曲线积分的计算方法

    方法：

     参数法  设L: x=x(t), y=y(t),  t: , 则

      

       注意特例：L: x=x, y=y(x),  或L: x=x(y), y=y

     ‚ 格林公式

            注意含奇点的处理！

    ƒ 若L不闭，加边L₁，使L+L₁闭合，再用格林公式：

        ,  注意L₁的方向！

    „ 若，则可用积分与路径无关求解

        

 注：空间曲线积分常用方法：参数法或Stokes公式，但参数法往往更简单。

例4 （理工P250例8、9） 计算

[解]  

例5  （理工P250例8、10）计算其中L是以(1,0)为中心，半径为R(>0,R¹1)的正向圆周。

[解]

比较（07-1）：设曲线 过第二象限点M和第四象限N，是L上从M到N的一段弧，则下列积分小于0的是[     ]

A ，  B ， C ， D

例6 （04数1）计算 其中L为正向圆周 在第一象限的部分。

[解] （三种方法）

法一：  

比较*（08-1）计算曲线积分 , 其中L是曲线y=sinx上从点(0,0)到点 的一段.

【详解1】 =

                               =

                               =

【详解2】 添加x轴上从点 到点(0,0)的直线段 , D为L与围成的封闭区域, 则

=

=

=

=

【评注】封闭曲线 取负向, 所以用格林公式时应注意前面取负号.

 

 例7 （理工P251例8、12）计算其中L为自点A(-1,0)沿至B(2,3)的弧段。

   [解]  

例8* 设函数f(x,y)在区域D： 上有二阶连续偏导数，且

, 证明

  证 

        =

        =

       =

其中 是半径为r的圆.

例9 （理工P252例8、15）（逆问题) 已知曲线积分 ，其中 是非负可导函数且 , L是绕原点(0,0)一周的任意正向闭曲线，试求出 及A.

解   

例10*(逆问题)设x>0时f(x)连续可微，且f(1)=2,对右半平面(x>0)内任意闭曲线C有   1）求f(x); 

2)计算  其中L是由A(1,0)到B(2,3)的一段弧

   [解] 1）由题设，得

       

由  解得  

2）因积分与路径无关， 选取沿 路径

 

 

  例11* 已知 ，试确定使方程

          

成为全微分方程，并求上述方程满足初始条件 的特解.

[解] ， ，

由   ，

即         .

令 ，则    ，即

对应齐次方程组的通解为  

设特解为 ，

即有         

由 ，得   故

题型3 对面积的曲面积分的计算

     计算步骤：

         

         ‚

   注：第一类曲面积分具有对称性：

设Σ关于x=0对称，则

                  Σ₁是Σ的 部分

类似地有关于y=0,z=0的对称性情形

轮换对称性：若x，y，z互换，Σ不变，则

 

例12 设有曲面 ,它的面密度为 ,求它的质量.

[解]

例13* （理工P254例8、19）计算曲面积分，其中 为球面：

解] 由对称性有故

题型4 对坐标的曲面积分的计算方法

   直接利用与第一类曲面积分的关系

 ‚矢量点积法（投影轮换法）

   设  , 则的法矢量为 , 于是由上述公式知

       

若题设 的侧与 一致取正，否则取负。

特别：

 或  

        注：若投影为xoy平面上一条直线，则

 ƒ 利用高斯公式

       1) 闭，且P、Q、R有连续一阶偏导

           

       2) 非闭+ 为闭，则

           注意侧的选择

例14（理工P257例8、24） 计算 ，其中 是锥面 被平面z=1和z=2所截出部分的外侧。

   [解]  

比较 * （i）（07-1）求 ，其中 是曲面 的上侧。（答案： ）

   （ii）（08-1）求 ，其中 是曲面 的上侧。（答案： ）

（iii） (98数1) 计算 ，其中 为下半球面 的上侧，a为大于0的常数。

   [解] 先化简    

   补  , 其法向量与z轴正向相反，从而得

       

         =  

         =

 

例15  设 ，求积分

，其中 是向量场 的旋度，S是锥面 在xoy平面上方的部分，单位法向量 指向锥外.

[解]   

例16* 设对于半空间x>0内任意的光滑有向封闭曲面S ,都有

          

其中函数f(x)在(0,+¥)内具有连续的一阶导数，且求f(x).

[解] 由题设和高斯公式得

        

           ，

其中 为S围成的有界闭区域， 号对应曲面取外侧或内侧。由S的任意性，知    . 即 ，

这是一阶线性非齐次微分方程，其通解为

由于  故必有 ，即C+1=0，从而C= -1.

因此有       

例17 计算 ，其中

1)      是球面： 外侧，

2)      是不含原点在其内部的光滑闭曲: 外侧，

3)      是含原点在其内部的光滑闭曲面: 外侧

   [解]   

 例18*．设 是以 为边界的光滑曲面，试求连续可微函数使曲面积分

  与曲面 的形状无关。

解：以 为边界任作两个光滑曲面 ， 的法向量指向同一侧。记 为 所围闭曲面，取外侧， 所围区域为口。依题意 ，( 的反向)

由高斯定理

è  

代入上式

==〉

==〉  ==〉  

第三部分      多元函数的在几何上的应用

1  方向导数与梯度

     设z=f(x,y,z), 单位方向向量

     则方向导数： 

           梯度：

    注：① 为方向导数的最大值。

        ②

2  空间曲线G的切线和法平面

             

      如果 在 处可微，则L在 的切线：

    法平面：

3        空间曲面S：F(x,y,z)=0 的切平面和法线

函数 在 处可微 S在点 存在切平面和法线，并且过点 的切平面：

        法线： 

例1* 过曲面 上点 处的指向外侧的法向量为 ,求函数 在点P₀处沿方向的方向导数.

[解]  F(x,y,z)= ,

外法线方向余为

又 

例2*设函数f(x,y)在点（0，0）附近有定义，且，则

（A）

（B） 曲面z=f(x,y)在点(0,0,f(0,0))的法向量为{3,1,1}.

（C） 曲线 在点(0,0,f(0,0))的切向量为{1,0,3}.

（D）曲线在点(0,0,f(0,0))的切向量为{3,0,1}.        [  C  ]

[解] 题设只知道一点的偏导数存在，但不一定可微，因此可立即排除（A）；至于(B),(C),(D)则需要通过具体的计算才能进行区分，令F(x,y,z)=z-f(x,y) ,则有

      

因此过点(0,0,f(0,0))的法向量为±{-3,-1,1}，可排除(B)；曲线 可表为参数形式：，其在点(0,0,f(0,0))的切线方向向量为 ，故正确选项为（C）.

【注】 由于存在偏导数并不一定能保证函数可微分，因此，不一定能保证曲面z=f(x,y)在相应点处存在切平面，因此即使将选项(B)换为法线向量（3，1，-1）或（-3，-1，1），选项(B)依然为错。

例3* 求椭球面 上某点M处的切平面 的方程，使平面 过已知直线

[解] 令 ，则椭球面在点 处的切平面的方程为

即       

因为平面 过直线L,故L上的任两点，比如点应满足 的方程，代入有  又因

           

联立求解以上三个方程，得到    故所求切平面的方程为  x+2z=7 和 x+4y+6z=21.

例4* 求曲面 平行于平面2x+2y-z=0的切平面方程.

[解] 令 ，则  设切点为 ，则切平面方程为

     ，

它与题给平面平行，有

            和

由此得切点坐标为  故所求切平面方程为2x+2y-z-3=0.

 例5* 确定常数 ，使在右半平面x>0上的向量为某具有连续二阶偏导二元函数u(x,y)的梯度，并求u(x,y).

【分析】 平面单连通区域内向量场 为某二元函数u(x,y)的梯度，相当于有，从而 ，由此可定出在此基础上，根据积分与路径无关可得

[解] 令 ， ，由题设，有

，即   

可见，当且仅当 时，所给向量场是梯度场. 在x>0的半平面内任取一点，比如(1,0)作为积分路径的起点，则根据积分与路径无关，有

=  其中C为任意常数.

【评注】 向量场 是梯度场 = 是全微分方程 积分与路径无关

例6* 设直线 在平面 上，而平面 与曲面：相切于点(1,-2,5)，求a,b之值.

[解] 在点(1,-2,5)处曲面的法向量 ，故切平面即平面 的方程为

          2x-4y-z-5=0                              (1)

直线 的方向向量为

于是

由于直线        

在平面 上，故满足式(2)和式(3)的x,y,z必满足式(1). 实际上，式(2)加式(3)得

                2x-4y-z+b-3=0,

与式(1)比较，得b-3=-5，即b=-2