（(领先考研暑期数学讲义以及答案)

 

一、考试内容与要求

    1 经济数学中的常用函数

     (1) 成本函数C(x):  C(x)=固定成本+可变成本

     (2) 需求函数Q(p):  需求量为价格p的函数, 常用线性函数为Q=a-bp

     (3) 供给函数S(p):  需求量为价格p的函数, 常用线性函数为S=c+dp

     (4) 收益函数R(x):  R(x)=x·p,   x是产量，p是价格

     (5) 利润函数L(x):  L(x)=R(x)-C(x)  （或-T，税收）

     (6) 平均成本函数：

    2 导数在经济分析中的应用

     (1) 边际概念： y=f(x), 

         边际成本: 

         边际收益: 

         边际利润: 

     (2)  函数的弹性

         

  特别需求价格弹性： , 或假定Q为p的递减函数，且弹性大于零，则 .

     表示价格每变动1%时，需求量变动的百分数

 

    (3)  最值问题

    最大利润、最大成本等，通过建立函数关系式转化为一元函数或多元函数的极值与最值问题。通常，在所求问题只有一个极值点，而所求最值一定存在，则此极值即为最值。

 

    3 微分与差分方程在经济分析中的应用 

    如已知商品价格弹性，求商品需求函数等问题

 

    4  积分在经济分析中的应用

    如已知总产量变化率dQ/dt, 则时间间隔[a, b]内产量Q =

 

二、重要公式与结论

    1  复利公式

      分期复利计息公式  ,  其中r为年利率

      连续复利计息公式 

      现值公式 

    2  库存模型

       某一时期内，需求总量为Q，分x次进货，每次进货费用为k, 每件产品库存费用为p,  产品均匀销售，求最优批次，使总费用最小？

       总成本为：

 

三、典型题型与例题

    1  微分在经济上的应用

   例1 已知某厂生产x件产品的成本为 （元），问：

（1）    若使平均成本最小，应生产多少件产品？

（2）   若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？

  解  （1） 由，得平均成本

         

因而 , 令 得x=1000或x=-1000(舍去). ,所以x=1000时，取极小值，也即最小值。所以，生产1000件产品可使平均成本最小。

（2）     润函数 ，

由 得x=6000, 又 ，所以x=6000时L(x)取极大值，即最大值。因此，要使利润最大，应生产6000件产品。

 

例2 某商品进价为a（元/件），根据以往经验，当销售价为b（元/件）时，销售量为c件(a,b,c均为正常数，且 )，市场调查表明，销售价每下降10%，销售量可增加40%，现决定一次性降价，假设需求函数为线性函数. 试问，当销售价定为多少时，可获得最大利润？并求出最大利润.

解  设p表示销售价，x表示销售量, 需求函数为

则由题设有

    

即  ，或

利润函数为

 

令

由问题的实际意义或 可知， 为极大值点，也是最大值点，故定价为 时，有最大利润

（元）.

 

例3 设需求函数为Q=f(P),其中Q为需求量，P为价格。试讨论收益R关于价格P的边际收益，R对销售量Q的边际收益 与需求弹性 的关系。

   [解]  需求弹性为

   而   ，于是

  

  

 

例4 （04年）设某商品的需求函数为 ，其中价格 ，Q为需求量。

（1）    求需求量对价格的弹性 ；

（2）    推导（其中R为收益），并用弹性 说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加。

      [解]  （1）

（2）由R=PQ, 得  

又由 ，得P=10.

当10<P<20时， ，于是 . 故当10<P<20时，降低价格反而使收益增加。

 

 

 

 

 例5 已知某商品的需求量x对价格p的弹性为 , 而市场对该商品的最大需求量为1（万件），（1）求需求函数；(2) 若p服从[1, 2]上均匀分布，求期望的收益值

    解  （1）由弹性公式： ，有

       

   （2）

 

例6 设需求函数为 ，总成本函数为，其中a>0,b>0为待定常数. 已知当边际收益MR=67，且需求价格弹性时总利润最大，求总利润最大时的产量，并确定a,b的值.

解  由题设，总收益函数为 ，

   

.

由题设，解方程组

 

得  ；或

（1）    若 ，此时，但 ，不符合实际.

（2）    ,此时 ，且 ,因此a=111,b=2为所求常数，此时对应最大利润的产量为Q=11.

 

     二、积分在经济上的应用

 

例7 出售某种商品，已知其边际收益函数是 ，边际成本函数是，且固定成本是6，求使这种商品的总利润达到最大值的产量和最大总利润.

解  ，

   

 

令 ，又

可知L(x)在x=4有极大值，也就是在该点取得最大值，且

      

 

例8 某产品生产x个单位时总收入的变化率（即边际收益）为        

（1）    试求生产了50个单位产品时的总收入以及平均单位收入；

（2）    如果已经生产了100个单位，求再生产100个单位时的总收入，和产量从100个单位到200个单位的平均收入。

    [解]  （1）

  平均收入为 

  （2）

 平均收入为 

 

例9设某商品从时刻0到时刻t的销售量为 ，  欲在T时将数量为A的该商品销售完，试求

（1）t时的商品剩余量，并确定K的值；（2）在时间段[0,T]上的平均剩余量。

[解]  （1）在时刻t商品剩余量为

   ，

由 =0，得  因此 ，

（2）依题意，y(t)在[0,T]上的平均值为

    

因此在时间段[0,T]上的平均剩余量为

 

三、多元函数微分学应用

 

     例10 某厂家生产的一种产品同时在A,B 两个市场销售，售价分别为 和 ；销售量分别为 和 ；需求函数分别为

总成本函数为 . 若A市场的价格对B市场的价格弹性为2，且 =1时， =3/16. 试问：厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得的总利润最大？

解 

收益为：

利润         =

问题转化为求L在条件 下的最大值.

考虑拉格朗日函数

     

令      

 

解得  =3, =4. 由于可能极值点唯一，且问题必存在最大值，因此当 =3, =4时，利润最大.

 

  例11  设生产函数和成本函数分别为

       ，

当成本预算为S时，两种要素投入量x和y为多少时，产量Q最大，并求最大产量.

解  s.t.  , 

令 

解 

得   ，此时产量Q最大.

 

 四、微分方程（和差分方程）的应用

 1）微分方程

例12 某商品市场价格p=p(t)随时间变化，而需求函数 , 供给函数  且p随时间的变化率与超额需求( )成正比，求价格函数p=p(t).

    解  设

    由一阶线性微分方程的通解公式有

      

   

例13 已知某商品的需求对价格的弹性为 ，且当p=1 时，需求量为Q=1.

1)        试求商品对价格的需求函数；

2)        当价格 时，需求是否趋于稳定？

   [解]  1） 由 ，得

    

积分得 

     2）  ，需求趋于稳定。

2）差分与差分方程（数三）

 （1）差分的概念

     一阶差分： ；

二阶差分： ；

三阶差分：  

（2） 一阶差分方程的解法

                         

（1）（当 不恒为零时称为非齐次）

（2）   （称为与（1）对应的齐次方程）

定理：设 是方程（2）的一个非零解，则（2）的通解（所有解）为

， 而（1）的的通解（所有解）为 其中C为任意的常数，

为（1）的一个特解。

（3）   叠代法求解：

（i）                   不妨设 取 ，则由方程（2）得 ，由此继续叠代可得方程（2）的一个非零解为  ，因此（2）的通解为 ；

（ii）                 为求方程（1）的一个特解， 取 ，则由方程（1）得 ，由此继续叠代可得：

 

（iii）特别：当 ）时，（1）的的通解为

例14 假设分别是t期的国民收入、消费和投资，三者之间有如下关系  

  

其中 为常数，求

   解  由前两式解出 代入第三式得：

   由（iii）解得