1· 摘要 孪生素数猜想是数论中的著名未解决问题。这个猜想产生已久；在数学家希尔伯特在1900年国际数学家大会的著名报告中，它位列23个“希尔伯特问题”中的第8个问题，可以被描述为“存在无穷多个素数p，并且对每个p而言，有p+2这个数也是素数”。

  1·1  由于孪生素数猜想的高知名度以及它与哥德巴赫猜想的联系，因此不断有学术共同体外的数学爱好者试图证明它。有些人声称已经证明了孪生素数猜想。然而，尚未出现能够通过专业数学工作者审视的证明。（引自百度‘孪生素数’词条。）因此，在此不介绍该问题的研究进展和成果。

  1·2  由此可见孪生素数问题，特别是孪生素数公式是数论研究的一个重大的热门课题。 

  1·3  研究思路方法 “分解剖析，聚合复原客观”，根据素数判定定理即可推导证明恒表孪生素数公式。

     关键词    恒表  孪生素数   公式

      作者先解析孪生素数全部客观存在形式、构成类型、四则运算及其判定，再逆向还原推导出了“恒表孪生素数公式”。

       引理  素数列前r项之积加上或减去1，都不被大于第r项素数、小于和或差平方根的素数整除时，必为孪生素数。

       推论一 任意改变积的若干个因素的指数，引理依然成立。

       推论二 当积的因数（除开2外）缺项（即其指数改变为0）时，和或差不被所缺项素因数整除时，引理依然成立。

       定义 令p、Px、Py、Pr表素数。

  n、r表自然数,且｛n｝=｛1、2、3、4、5···n｝，n≥ Pr ，｛r｝=｛1、2、3、4、5···r｝，  r=1时，2的指数≥2 。

   Pr!i=自然数列前r项或其中若干项之积，且除开2的指数不为0外，各项的因数指数可以任意改变。

      Pr＜ Py ≤ √p、√（p+2）。

      Px表Pr!缺项的素因子。

  “ |”为整除号，“卜”为不整除号。“i”为任意改变指数号（简称变幂号）。 则引理可表述为：

    孪生素数公式   p=Pr!-1    p+2=Pr!+1   Px、Pyp、 p+2

       证明  Pr|Pr!  Pr卜1、2 =〉Prp、p+2；又Px≤ Pr  Px卜p、p+2 ，｛r｝=｛1、2、3、4、5···r｝，所以前r项素数都卜p、p+2。

       已知Py卜p、p+2。=〉小于或等于√p、√（p+2）的素数都卜p、p+2。

      假定有一个大于Py的素数 |p、 p+2 ，已知Py≤ √p、√（p+2）=〉必然同时有一个Pr或Py同时|p、 p+2，这与前面已证Pr、Py卜p、p+2矛盾。=〉假设不成立。

       综上=〉p、 p+2必为孪生素数。引理得证。

       同理可证推论一、二成立。

       例如根据引理可得孪生素数：

         p+2= 2×2+1=5        p= 2x2-1=3  

     p+2= 2×3+1=7        p=2×3-1=5 

         p+2= 2×3×5+1=31       p=2×3×5-1=29

    （各式积的末位因数即Pr的取值，下同。）

   根据推论一，改变引理例式中各因数的指数可得孪生素数：

      p+2=2×2×3+1=13            p=2×2×3-1=11 

      p+2= 2×3×3+1=19           p=2×3×3-1=17

      p+2= 2×3×5×5+1=151        p= 2×3×5×5-1=149

      p+2=2×2×3×5+1=61            p=2×2×3×5-1==59

      p+2=2×2×2×3×3+1=73        p=2×2×2×3×3-1=71 

      p+2=2×2×3×3×3+1=109       p=2×2×3×3×3=1=107

      p+2=2×2×3×3×5+1=181       p= 2×2×3×3×5-1=179 

      p+2=2×2×2×2×2×2×3+1=193   p=2×2×2×2×2×2×3-1=191

      p+2=2×2×3×5×7+1=421       p=2×2×3×5×7-1=419

    根据推论二，改变引理例式中Pr的值和各因数的指数可得孪生素数：

      p+2=2×3×7+1=43               p=2×3×7-1=41

      p+2= 2×2×5×5+1=101         p=2×3×17+1=103

      p+2=2×3×23+1=139             p=2×3×23-1=137  

      p+2=2×3×3×11+1=199         p=2×3×3×11-1=197

    又因为偶数都是2的倍数；任意一个奇合数都是若干个奇素数的积，所以任何奇合数分解质因数都必然是引理及推论中的一种形式；由此推知引理及推论可以表出任意奇数，包含了所有孪生素数，从而推知引理及推论可以表计全部孪生素数，证毕。

    引理及推论合并表述为：

    恒表孪生素数公式

    p= Pr!i-1  p+2=Pr!i+1   Px（表缺项素因子）≤ Pr＜ Py ≤ √p、√（p+2）  Px、Py卜p、p+2，p、p+2必表孪生素数，且其值集就是全部孪生素数。

       Pr≤自然数n, n!(分解合数项质因数)=Pr!i=>此式又可表述为：

      孪生素数定理 自然数列前n项之积，或n内任意若干项(除开2的指数不为0外，各项或其素因子指数可以任意改变)之积，加上或减去1，和或差都不被缺项的素因子、大于n的素数小于或等于和或差的平方根的素数整除时，必为孪生素数。且所有孪生素数都可以如此表计。

       例如  p+2=1×2×3+1=7            p=1×2×3-=5

         p+2=1×2×3×3×4+1=73        p=1×2×3×3×4-1=71

         p+2=1×2×3×7+1=43            p=1×2×3×7=41

         p+2=1×2×3×4×13+1=313     p=1×2×3×4×13-1=311

    综上结论，本文证明了孪生素数公式成立；揭示了孪生素数三类客观排列、构成形式、规律，推进了相关数学基础理论研究、发展。