摘要  笔者试图找到素数公式，按照《发现素数公式成败的主客观原因》思路、方法研究，发现 所谓素数通项公式，要满足三个条件：

    1、以自然数表计。

    2、每个表计结果必是素数。

    3、公式能够表计出全部奇素数。

    运用“排列组合研究法”考察分析（过程、内容见‘按照’文），发现2n+1(或减1)是奇自然数的通项代数式 =〉非合数2n+1(或减1)就是奇素数的通项代数式=〉2n+1(或减1)表素数的完善性=〉解析n的全部构成种类形式、根据素数判定定理证明2n+1(或减1)表素数的纯粹性=〉2n+1(或减1)为素数的判定定理，再逆向还原等价命题即是素数通项公式。​

    由是说，素数通项公式是全部素数客观现实排列、构成的种类形式之透析、扫描、录像、回放。

   问题简介 这个问题是笔者发现、提出的。《发现素数公式成败的主客观原因》及摘要，已经介绍了问题、研究方法等内容，不再抄录。直接书记笔者“解剖客观，还原客观”之研究实践、结果。

    素数通项公式及其三类客观构成形式

   定义 令Pr、Px、Py表素数,n、r、x、y、k表自然数,且｛n｝=｛1、2、3、4、5···k｝,k≥ Pr， ｛k｝=｛1、2、3、4、5···k｝，｛r｝=｛1、2、3、4、5···r｝,√Px≥Py＞Pr。“ |”为整除号，“∤”为不整除号,（因为没有，作者暂时在此文以）“i”为素因子指数任意改变号（简称变幂号）。

    三类客观存在素数的判定定理 2n加上或减去1，当n=自然数前k项之积（即k!）,和或差都不被大于k的素数、小于或等于和或差的平方根的素数整除时，必为素数；任意改变k!各项素因子的指数(改记积为k!i，显然k!∈k!i)，定理依然成立；k！空缺若干项（非全部项）时(因为空缺项可以视为改其指数为0，所以依然改记积为k!i)，和或差不被所缺项的素因子整除时，定理依然成立。判定定理的等价逆命题的表计公式即为：

    素数通项公式 Px=2n+1=2k!+1=2Pr!i+1  或 Px=2n-1=2k!-1=Pr!i-1  Py∤p  缺项素因子∤Px 时，Px必为素数；Px值集就是奇素数集；当和与差都为素数时，即是孪生素数。

    客观实际之2k!+1(或减1）=Px为素数有，且只有三类形式。

    一、例如  当n=k!时，由2k!+1(或减1）=Px得：

    k=1  2(1x1)+1=3=Px

    k=2  2(1x2)+1=5=Px     2(1x2)-1=3=Px (孪生素数）

    k=3  2(1x2x3)+1=13=Px  (1x2x3)-1=11=Px (孪生素数）

    k=4  2(1x2x3x4)-1=47=Px                 

    k=5  2(1x2x3x4x5)+1 =241=Px 

         2(1x2x3x4x5)-1 =239=Px (孪生素数）

    k=6  2(1x2x3x4x5 x6)-1=1439=Px

      此类素数构成形式：k!的各素因子指数为1，素因子列不缺项。

    二、任意改变例式中k!的各项素因子指数时得：

    k=1  2(1x1x1)+1=3 =Px   

    k=2  2(1x2x2)-1=7=Px   (1x2x2x2)+1= 17=Px  

         2(1x2x2x2x2)-1=31=Px   2(1x2x2x2x2x2)-1=127=Px

    k=3  2(1x2x2x3)-1=23 =Px    2（1x2x3x3）+1=37​=Px

    2(1x2x2x3x3)+1 =73  2(1x2x2x3x3)-1=71=Px (孪生素数）

    k=4  2(1x2x2x3x4)+1=97=Px   

         2(1x2x2x2x3x3x4)+1=577=Px

      2(1x2x3x3x3x4)+1=433 =Px  2(1x2x3x3x3x4)-1=431=Px (孪生素数）

    k=5  2(1x2x2x3x4x5)-1=479=Px 

         2(1x2x3x3x4x5)-1=719=Px                

         2(1x2x3x3x3x4x5)+1=2161=Px  

         2(1x2x3x4x5x5)+1=1201=Px

    k=6  2(1x2x2x3x4x5 x6)-1=1439 =Px 

        2(1x2x2x2x3x4x5 x6)+1=2801=Px

         此类素数构成形式：k!的素因子列不缺项，各素因子指数可除开0外随意改变。

    三、 当例式中k!i缺2外的项时( 举例恕未指出缺项），得：

   k=3  2(1x3)+1=7=Px       2(1x3)-1=5=Px (孪生素数）

        2(1x3x3)+1=19=Px    2(1x3x3)-1=17=Px(孪生素数）

        2(1x2x2x2)+1=17=Px  2(1x3x3x3)-1=53=Px   

   k=4  2(1x2x3)+1=13 =Px   2(1x2x3)-1=11=Px (孪生素数）

        2(1x2x2x4x4)-1=127=Px  2(1x3x4)-1=23=Px

   k=5 2(1x3x5)+1=31=Px     2(1x3x5)-1=29=Px(孪生素数）  

       2(1x2x3x5)+1=61=Px   2(1x2x3x5)-1=59=Px(孪生素数）

       2(1x4x5)+1=41=Px     2(1x2x4x5)-1=79=Px 

       2(1x3x3x5)-1=89=Px   2(1x4x5x5)-1=199=Px

   k=6 2(1x2x3x5x6）+1=181=Px  2(1x3x5x6)-1=179=Px(孪生素数）   2(1x5x5x5)+1=251=Px  2(1x5x6x6)-1=359=Px

   非上列例式 k!i缺项举例，依然由2pr!i+1(或减1）=Px得：

   k=7  2(1x3x7)+1=43=Px    Px=2(1x3x7)-1=41(孪生素数）

        2(1x7)-1=13=Px 2(1x2x3x7)-1=83=Px                

        2(1x7x7)-1=97=Px

   k=8  2(1x3x8)-1=47=Px    2(1x2x3x8)+1=97=Px

      2(1x3x3x4)+1=73=Px    2(1x3x3x4)-1=71=Px(孪生素数）

   k=9  2(1x5x9)-1=89 =Px   2(1x7x9)+1=127=Px

   2(1x2x5x9)+1=181=Px  2(1x2x5x9)-1=179=Px(孪生素数）

   k=10 2(1x3x10)+1=61=Px 2(1x3x10)-1=59=Px (孪生素数）

   2(1x3x3x10)+1=181=Px  2(1x3x3x10)-1=179=Px(孪生素数）

   k=11 2(1x2x11)-1=43=Px    2(1x3x11)+1=67=Px

  2(1x3x3x11)+1=199=Px  2(1x3x3x11)-1=197=Px(孪生素数）

    ······

   k=19  2(1x19)-1=37=Px    2(1x2x5x19)-1=379=Px

         2(1x3x19-1)=113=Px  2(1x5x19)+1=191=Px

    ······

   k=97  2(1x97）-1=193=Px   2(1x5x97)+1=971=Px

       此类素数构成形式：k!的素因子列缺2外若干项，各素因子指数可随意改变。

    证明: 当n=k!时,k!中的合数分解质因数后转化成若干个≤ k的素数积、空缺了该合数项=〉k!=Pr!i（这个简单等式代换是合数很重要的构成形式、转化定律。其应用价值非少非小，例如推导各类各种素数公式。）

    例如 k!=1x2x3x4=Pr!i=1x2x3x2x2  空缺了合数4

   =〉n=k!+1(或减1)=Pr!i+1(或减1)   

   =〉Pr|Pr!i、k! 又，Pr∤1=〉Pr∤ Px，已知k≥Pr ， Py∤Px   Py﹥ Pr≤ √Px =〉＜ √Px 的素数都∤Px 。

    假定有＞Py 的素数|Px ，已知Pr≤ k   Pr＜ Py≤√ Px=〉必有一个Pr或 Py|Px 这与Pr∤Px  py∤Px 矛盾 =〉假设不能成立，公式成立。

    同样可证任意改变k!的素因子指数时，公式依然成立；当k!i缺项时，Px不被缺项素因子整除，公式依然成立。=〉三类2k!+1(或减1）=Pr!i+1（或-1）=Px必是素数。

    2n+1、 2n-1可以表计奇自然数列、奇素数列，n只有公式中的三类客观存在形式 =〉任意一个素数的构成必是其一=〉

Px的值集就是奇素数集。

    此公式以自然数表计=〉公式能够表计出全部奇素数；每个表计结果都是素数=〉公式名称（举例计算所得素数集，就包含了100内的全部奇素数）。=〉2k!+1(或减1）=Pr!i+1（或-1）=Px的逆命题Px=2k!+1(或减1）=Pr!i+1（或-1）与它等价。

    不证自明，Px=2k!+1(或减1）=Pr!i+1（或-1）就是素数通项公式。它是素数公式之母，包括了所有各类各种特殊素数公式，例如《三个特殊素数公式》 《孪生素数公式》《对偶素数公式》《恒表质数公式》···形似“费马、梅森素数”多如牛毛的代数式，都可视为可表部分素数的公式。证毕。

      由是结论，“素数通项公式”不仅是旷世发现，破除了千百年来有无素数公式存在、能否找到素数公式的疑问，又剖析、还原了全部素数客观存在的规律、形式、种类，推进发展了数学基础理论。除了它外，不可能存在客观没有的素数公式。

    “排列组合研究”之“解剖客观，还原客观法”行之有效。

（待定新符号问题：以Pr!i表代Px的三种类型，还是分类表代？确定i为变幂号？）