博文丢失，补记，写于[ 2010-01-10 18:10:00]

[读初二的女儿问了我这道题，我解不出来，这些天查了很多资料，原来问题不是这么简单的。]

一、问题的引入：

图像画法：很简单，一个矩形，中间画条横线，然后不是分为两层了吗？上面一层中间画条竖线分两半，下面一层用竖线平均分三半，得到5个矩形，图像中16条线段。

题目：用一条连贯的线切过每一条线段，不能切两次也不能不切，必须切一次！求那条线。（说明：线必须穿过直线，穿过交点和碰到线折返无效。）

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二、七桥问题：

如果一个图形可以用笔在纸上连续不断而且不重

　　复地一笔画成，那么这个图形就叫一笔画。显然，在下面的图形中，(1)(2)不能一笔画成，故不是一笔画，(3)(4)可以一笔画成，是一笔画。

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　　问题是：为什么有的图形能一笔画成，有的图形却不能一笔画成呢？一笔画图形有哪些特点？关于这个问题有一个著名的数学故事——哥尼斯堡七桥问题。哥尼斯堡是立陶宛共和国的一座城市，布勒格尔河从城中穿过，河中有两个岛，18世纪时河上共有七座桥连接A，B两个岛以及河的两岸C，D(如下图)。

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　　所谓七桥问题就是：一个散步者要一次走遍这七座桥，每座桥只走一次，怎样走才能成功？

　　当时的许多人都热衷于解决七桥问题，但是都没成功。后来，这个问题引起了大数学家欧拉(1707-1783)的兴趣，许多人的不成功促使欧拉从反面来思考问题：是否根本就不存在这样一条路线呢？经过认真研究，欧拉终于在1736年圆满地解决了七桥问题，并发现了一笔画原理。欧拉是怎样解决七桥问题的呢？因为岛的大小，桥的长短都与问题无关，所以欧拉把A，B两岛以及陆地C，D用点表示，桥用线表示，那么七桥问题就变为右图是否可以一笔画的问题了。

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　　我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点，与奇数条线相连的点叫做奇点。如下图中，A，B，C，E，F，G，I是偶点，D，H，J，O是奇点。

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　　欧拉的一笔画原理是：

(1)一笔画必须是连通的(图形的各部分之间连接在一起)；

(2)没有奇点的连通图形是一笔画，画时可以以任一偶点为起点，最后仍回到这点；

(3)只有两个奇点的连通图形是一笔画，画时必须以一个奇点为起点，以另一个奇点为终点；

(4)奇点个数超过两个的图形不是一笔画。

　　利用一笔画原理，七桥问题很容易解决。因为图中A，B，C，D都是奇点，有四个奇点的图形不是一笔画，所以一个散步者不可能不重复地一次走遍这七座桥。

　　顺便补充两点：

(1)一个图形的奇点数目一定是偶数。

　　因为图形中的每条线都有两个端点，所以图形中所有端点的总数必然是偶数。如果一个图形中奇点的数目是奇数，那么这个图形中与奇点相连接的端点数之和是奇数(奇数个奇数之和是奇数)，与偶点相连的线的端点数之和是偶数(任意个偶数之和是偶数)，于是得到所有端点的总数是奇数，这与前面的结论矛盾。所以一个图形的奇点数目一定是偶数。

(2)有K个奇点的图形要K÷2笔才能画成。

　　例如：下页左上图中的房子共有B，E，F，G，I，J六个奇点，所以不是一笔画。如果我们将其中的两个奇点间的连线去掉一条，那么这两个奇点都变成了偶点，如果能去掉两条这样的连线，使图中的六个奇点变成两个，那么新图形就是一笔画了。将线段GF和BJ去掉，剩下I和E两个奇点(见右下图)，这个图形是一笔画，再添上线段GF和BJ，共需三笔，即( 6 ÷2)笔画成。

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　　一个K(K＞1)笔画最少要添加几条连线才能变成一笔画呢？我们知道K笔画有2K个奇点，如果在任意两个奇点之间添加一条连线，那么这两个奇点同时变成了偶点。如左下图中的B，C两个奇点在右下图中都变成了偶点。所以只要在K笔画的2K个奇点间添加(K-1)笔就可以使奇点数目减少为2个，从而变成一笔画。

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三、对问题的转化分析：

1.实体图形转化成一笔画图形的方法

对于一笔画的应用时，实体图形转化成一笔画图形既是关键点也是难点。下面我们就详细剖析一下：

　　例：某展览馆的平面图如图所示，参观者能否无重复地穿过展室的每一扇门？如果能的话，他应该选择从哪个展室开始参观？

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　　［分析］关键问题是将展览馆的平面图化为一笔画图形．我们记住以下几点以后同类型的题就变得更加容易。

　　1）将图中所有的门（连通物）去掉（如图1）。

　　2）观察图形将纸面分成了几部分（注意图形外面还有一部分），将这几部分标号（如图2）。。

　　3）将每一部分看成点。（如图3）

　　4）按照字母的顺序连接，如A室有三个门，分别是与B，C，D，F，把AB，AC，AD，AF。同样看B，C，D，E，F各有几个连线，就连成了一笔画图形。（注意连线不要交叉如图）

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　　5）利用所学过的知识，判断图中奇顶点的个数．例如：此图有两个奇顶点，参观者能不重复地穿过各展厅的门，并可选择从室或室开始，如从室开始，路线是

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2.本问题的转换及分析：

 回到最初的题上，其转换应该是这样的：
(1)原始的路径：

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（2）按如下方式转换问题：

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奇数个点有4个：A(5条路径）、B(5条路径）、D(5条路径）、F(9条路径）,显然，奇点既不是0个也不是2个，因此，无法一笔画完，此题无解。

3.结论的引申：

可以从形式上证明出来他是无解的：
（1）一共五个长方形如图所示，红色标记边仅仅被一个长方形占有，它的权重是1；蓝色标记的被两个矩形占有，它的权重是1/2。
这个权重就是说对应边如果是某个矩形单独占有，那它所起的作用就是1条边的作用，如果是在两个矩形交界的地方，那么这条边是在两个矩形当中都起作用，如果所求线穿过他，相当于两个矩形同时用掉一条边，而对于每个矩形来讲，它所起的作用就是半条边的作用。
这样可以看出来，总的权重(需要穿过的边数)加和应该是9+7/2=25/2，也就是12.5，它并不是一个整数边，而所谓的那条线每过一条边，其他需要穿过的边数就需要减一，而现在这并不是一个整数边，换句话说也就是不可能正好减为0，无论如何最后总会剩下一个蓝色标记的边无法画到。
不知道我这么说清楚表达我的意思了么。
（2）这个题在平面上可以转化成16桥问题，只是他的图中说出了三个奇点，三个5、5、5，而实际上还有第四个奇点，就是整个外围，如果把整个矩形外围算作一个点，那么它也是个奇点，因为一共有9个边和它相接，也就是这个点有9条线相连。奇点绝对是偶数个。
这样就好说了，一共4个奇点，那么就想办法把它消灭2个就可以了。
这个题在平面中确实而且绝对无解，但是在空间中就不一定了。就说消灭2个奇点，如果在空间范围来做，那完全可以假设那上侧左右两个矩形之间相连，你可以折起来把这两个矩形中的某个点贴住，这样那条线在进入这个左边或者右边的矩形后，可以选择继续从所在矩形穿出去往别的地方，也可以选择进入贴住的另一个矩形来从那个矩形中穿出，这样无形中就把左右矩形中所形象化的奇点给消失掉了，这样就剩下三个矩形中的中间那个矩形和整个外围形象化的点——这两个奇点，完全可以说从这两个奇点出发，一定可以完成题目的要求。

图中棕色的是大地，蓝色的是水，白色的是桥，岛上的数字是此岛上的桥的个数，或者说从这个点出发的线的条数，有三个奇数（分别是5，5和5），和“一笔画”的要求“它们是连通的，且奇顶点(通过此点弧的条数是奇数)的个数为0或2。”矛盾所以画不成。

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（3）结论：平面确实没法解，如果有解的话，就是对折了，对折到一个平面里....，这是空间几何的问题了....，这样才有可能。

四、奥数害人不浅：

这是一道老师考初中生的题，实际上就是一道奥数题，如果说不变态的确说不过去。本来是大数学家研究的问题，要一个初中学生完成，误国误民，害人不浅呀。