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(2009-03-09 22:19:34)
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数学课程标准解读数感教育 |
分类： 教育教学 |
《标准》在总体目标中提出要使学生“经历运用数学符号和图形描述现实世界的过程，建立数感和符号感，发展抽象思维”，并且在内容标准的几个阶段都阐述了培养学生数感的问题。数感并不是一个新的概念，但《标准》第一次明确地把它作为数学学习的内容提了出来。可见，理解数感、让学生在数学学习过程中建立数感，是《标准》十分强调和重视的问题。因此，有必要对理解数感和培养数感的问题做一些具体的刻画和剖析。
一、如何理解数感
1．对数感的认识。
“数感”是我们既熟悉又陌生的一个概念。在人们的学习和生活实践中经常要和各种各样的数打交道。人们常常会有意识地将一些现象与数量建立起联系，如走进一个会场，在我们面前的是两个集合，一个是会场的座位，一个是出席的人。有人会自然地将这两个集合做一下比较，不用计数就可以知道这两个集合是否相等，哪个集合大一些，大到什么程度，这就是数感在起作用①。数感是人对数与运算的一般理解，这种理解可以帮助人们用灵活的方法做出数学判断和为解决复杂的问题提出有用的策略。在数学教学中发展学生的数感主要是指，使学生具有应用数字表示具体的数据和数量关系的能力；能够判定不同的算术运算，有能力进行计算，并具有选择适当的方法（心算、笔算、使用计算器）实施计算的经验；能依据数据进行推论，并对数据和推论的精确性和可靠性进行检验，等等①。
建立数感可以理解为会“数学地”思考，这对每一个人都是重要的。我们没有必要让人人都成为数学家，但应当使每一个公民都在一定程度上会数学地思考。美国学者Grouws认为，学会数学地思考就是形成数学化和抽象化的数学观点、运用数学进行预测的能力，以及运用数学工具解决现实问题的能力②。
数感，包括将数与实际背景联系起来，用数学的方式思考问题。如，“学校举行乒乓球赛，有42个男生和32个女生参加。我们会想到，如果用单循环的方式组织比赛，需要多少场?若用淘汰的方式比赛要赛多少场?”“在电视中看到一条新闻，世界乒乓球巡回赛有8名选手进入决赛，其中有2名中国选手。在分组抽签时，恰好2个中国选手抽在一起。我们会马上想到，出现这样结果的可能性是多少?”“当我们到朋友家做客时，可能会估计客厅的面积有多少平方米。”把这些实际问题与数联系起来，就是一种数感。
数感使人眼中看到的世界有了量化的意味，当我们遇到可能与数学有关的具体问题时，就能自然地、有意识地与数学联系起来，或者试图进一步用数学的观点和方法来处理和解释。
可见，数感是一种主动地、自觉地或自动化地理解数和运用数的态度与意识。数感是人的一种基本的数学素养。它是建立明确的数概念和有效地进行计算等数学活动的基础，是将数学与现实问题建立联系的桥梁。
2．如何理解《标准》中的数感。
《标准》在关于学习内容的说明中，描述了数感的主要表现，包括“理解数的意义；能用多种方法表示数；能在具体的情境中把握数的相对大小关系；能用数表达和交流信息；能为解决问题选择适当的算法；能估计运算的结果，并对结果的合理性作出解释”。这些对数感的具体描述，构成了义务教育阶段培养学生数感的主要内容。
理解数的意义是数学课程的重要任务。义务教育阶段学生要学习整数、小数、分数、有理数、实数等数概念。这些概念本身是抽象的，只有为学生提供充分的可感知的现实背景，才能使学生真正理解。而能将这些数概念与它们所表示的实际含义建立起联系则是理解数的标志，也是建立数感的表现。如，估计1200张纸大约有多厚，1200步大约有多长，1把黄豆大约有多少粒，1万粒大米大约有多重；说出班级人数的四分之一是多少，从一张存折中可以看到哪些数、它们都表示什么含义等。
用多种方法表达数既是指要求学生理解数的概念，也是指使学生了解数的产生发展过程。人们可以用不同的方式表示数，抽象的数字符号不是表示数的惟一方式。人类早期对数的认识是从实物、代替物、图形，逐渐发展为数字符号的，学生认识数也有一个由具体到抽象的过程。引导学生用不同的方式表示数，会使学生切实了解数的发展过程，增强学生的数感。如通过数学故事向学生介绍古代人们用“结绳记数”等方式表示数、用算筹进行计算；又如，引导学生思考：如果，分别表示15，27的话，那么，分别表示多少?
在具体的情境中把握数的相对大小关系，不仅是理解数概念的需要，同时也会加深学生对数的实际意义的理解。如对于50，98，38，10，51这些数，能用大一些、小一些、大得多、小得多等语言描述它们之间的大小关系，并用“＞”或“＜”表示它们的大小关系。分数和有理数的大小更是具有相对性，只有在具体的情境中，学生才会深入地理解它们。这个数，对于不同的整体所代表的实际大小是不同的，1个苹果的是个苹果，1筐苹果的可能是10个苹果。
让学生学会用数表达和交流信息既能使学生体会学习数学的价值，也是数感的具体表现。观察身边的事物，有哪些是用数字描述的?有哪些可以用数或数码来描述?如，说出你所在地区的邮政编码，为班级同学每人编一个号码，用数字描述一件身边的事。学会倾听，从别人对某些数量的描述中发现问题、思考问题也是一种交流。如一位教师在上“大数目的认识”一课时，让学生回家数一数1千粒大米是多少，学生用不同的方式“数”出1千粒大米。在课堂上交流的时候，展示了多种多样的“数”的策略，以及各具特色的“算”的方法。有的学生说我是一粒一粒数的；有的学生说我是先数出100粒，再把100粒放在一个小盒子里，10个小盒就是1000粒；有的学生先数一把大米是多少粒，然后估计1千粒会是多大一堆。学生在交流中还讨论哪一种方法更好一些。学生在这个过程中具体地感知大数，将自己的想法与别人进行交流，也体会别人是怎样想的、怎样做的。
学生在解决问题的过程中选择适当的算法、对运算结果的合理性作出解释，也是形成数感的具体表现。学习数学的目的在于解决问题，运算是解决问题的工具，学生遇到具体问题时首先要想到用什么方法解决这个问题，选择什么算法解决，然后再算出具体的结果。同样一个问题可以用不同的方法解决，同样一个算式，也可以有不同的计算方法。有些问题的解法是惟一的，有些问题可能会有多种不同的解法。为学生适当提供一些开放性的问题，有助于这种意识和能力的培养。
二、如何培养学生的数感
1．认识数感在数学教育中的作用。
《标准》将培养学生的数感作为一个重要的目标，在不同学段中都有明确的要求，这是数学课程改革的需要，也符合义务教育阶段学生的培养目标。义务教育阶段的数学教育要面向全体学生，数学教育的目的在于提高学生的数学素养。大多数学生将来不会成为数学家或数学工作者，但每一个学生都应建立一定的数感，这对他们将来的生活和工作都是有价值的。中小学数学教育中培养学生数感，目的就在于使学生学会数学地思考，学会用数学的方法理解和解释现实问题。数感的培养在数学教育中起着重要的作用。
数感的建立是提高学生数学素养的重要标志。义务教育阶段的数学教育要为每一个学生的发展着想，适应每一个人的需要。作为公民素养之一，数学素养不只是用计算能力的高低和解决书本问题能力的大小来衡量的。学生学会数学地思考问题，用数学的方法理解和解释实际问题，能从现实的情境中看出数学问题，这是数学素养的重要标志。一个小学或初中毕业生，学习了那么多的数学知识，但不会估计一个学校操场大约有多大，不知道如何用最恰当的方式向别人说明自己所在的位置，不能在需要的时候用数学的方式解释某些现象，这能说学生的数学素养高吗?这样的数学教育能说是成功的数学教育吗?注重培养学生的数感，正是针对以往的数学教育过分强调单一的知识与技能训练、忽视数学与现实的联系、忽视数学的实际运用这种倾向提出来的。同时，数感的建立也是培养学生创新精神与实践能力的需要。学生有更多的机会接触和体验现实问题，表达自己对问题的看法，用不同的方式思考和解决问题，这无疑会有助于学生创新精神和实践能力的培养。
数感的培养有助于学生数学地理解和解释现实问题。数学是人们认识社会、认识自然和日常生活的工具。学生学习数学，一方面是为进一步学习打下基础，另一方面是要学会用数学的方法和数学的观点认识周围事物和客观世界的规律，学会用数学的方法自觉有意识地观察认识和理解周围的事物、处理有关的问题。培养学生的数感就是让学生更多地接触和理解现实问题，有意识地将现实问题与数量关系建立起联系。如，一个学校有500人，如果所有的学生都在学校用午饭，每次都用一次性筷子，估计一下一年要用多少双这样的筷子。这大约需要多少棵普通的树?又如，下图（1）中的杯子盛满了茶水，小明喝了一口（下图（2）），你能估计出小明大约喝了多少毫升吗?对这些问题的理解也就是一个“数学化”的过程，学生在这个过程中逐步学会数学地理解和认识事物。
数感的培养有利于学生提出问题和解决问题能力的提高。解决问题能力的培养重要的是在具体的问题情境中让学生去探索、去发现，解决一个问题可能需要一种以上策略，不只是简单地套用公式解固定的模式化的问题。要使学生学会从现实情境中提出问题，从一个复杂的情境中提出问题，找出数学模型，就需要具备一定的数感。学会将一个生活中的问题转化成一个数学问题，这种思维方式，与一般的解决书本上现成问题的思维方式有着明显的差异。学生要在遇到具体问题时，自觉主动地与一定的数学知识和技能建立起联系，这样才有可能建构与具体事物相联系的数学模型。具备一定的数感是完成这类任务的重要条件。如，怎样为参加学校运动会的全体运动员编号?这是一个实际问题，没有固定的解法，你可以用不同的方式编，而不同的编排方案可能在实用性和便捷性上是不同的。如，从号码上就可以分辨出年级和班级，区分出男生和女生，或很快地知道一名队员是参加哪类项目等。
2．在教学中加强数感的培养。
学生数感的建立不是一蹴而就的，是在学习过程中逐步体验和建立起来的。教学过程中应当结合有关内容，加强对学生数感的培养，把数感的培养体现在数学教学过程之中。
在数概念教学中重视数感的培养。数概念的切实体验和理解与数感密切相关，数概念本身是抽象的，数概念的建立不是一次完成的，学生理解和掌握数概念要经历一个过程。让学生在认识数的过程中，更多地接触和经历有关的情境和实例，在现实背景下感受和体验，会使学生更具体更深刻地把握数概念，建立数感。《标准》中强调，“要引导学生联系自己身边具体、有趣的事物，通过观察、操作、解决问题等丰富的活动，感受数的意义，体会数用来表示和交流的作用，初步建立数感”（第一学段）。在认识数的过程中，让学生说一说自己身边的数，生活中用到的数，如何用数表示周围的事物等，会使学生感到数学就在自己身边，运用数可以简单明了地表示许多现象。说一说自己的学号、自己家所在的街道号码、住宅的门牌（或单元）号码、汽车和自行车牌的号码；估计1页书有多少字、1本故事书有多少字、1把黄豆有多少粒等。对这些具体数量的感知与体验，是学生建立数感的基础，这对学生理解数的意义会有很大的帮助。《标准》中在不同学段都对学生数概念的建立提出了具体的目标，“结合现实素材感受大数的意义，并能进行估计”（第一、二学段）；“在熟悉的生活情境中，了解负数的意义，会用负数表示一些日常生活中的问题”（第二学段）；“理解有理数的意义和运算”，“能对含有较大数字的信息做出合理的解释和推断”（第三学段）。有效地组织这些内容的教学，是学生建立数感的基础。如，认识大数时，引导学生观察、体会大数的情境，了解大数在现实生活中的应用，有助于学生体会数的意义，建立数感。国庆游行时一个方队有多少人?体育场一面看台上能坐多少人?学校操场能容纳多少人?1万名学生手拉手大约有多长?通过这样一些具体的情境，会使学生切实感受到大数。在学生头脑中一旦形成对大数的理解，就会有意识地运用它们理解和认识有关的问题，从而逐步强化数感。在第三学段，随着学生年龄的增长、数的认识领域的扩大，可以逐步呈现较复杂的情境，让学生作出解释和判断。如可以探索和研究存款利率、国民生产总值、生产成本与价格等问题。
在数的运算中加强数感的培养。对运算方法的判断、运算结果的估计，都与学生的数感有密切的联系。《标准》提出：“应重视口算，加强估算，提倡算法多样化；应减少单纯的技能性训练，避免繁杂计算和程式化地叙述‘算理’。”“避免将运算与应用割裂开来”（第一、二学段）；“使学生经历从实际问题中建立数学模型、估计、求解、验证解的正确性与合理性的过程”，“能用有理数估计一个无理数的大致范围，了解近似数与有效数字的概念”（第三学段）。这些都是培养学生数感的需要。
结合具体的问题选择恰当的算法，会增强对运算实际意义的理解，培养学生的数感。学习运算是为了解决问题，而不是单纯为了计算。以往的数学教学过多地强调学生运算技能的训练，简单地重复练习没有意义的题目，学生不仅感到枯燥无味，而且不了解为什么要计算，为什么一定要用固定的方法计算。一个问题可以通过不同的方法找到答案，一个算式也可以用不同方式确定结果。用什么方式更合适，得到的结果是否合理，这与问题的实际背景有直接关系。21个人要过河，每条船最多可乘5人，至少需要几条船?怎样乘船才合理?这个问题不是简单地计算21÷5就可以解决的。没有实际背景的情况下，学生只是简单计算21÷5＝4……1，而在这个实际问题中，学生就体会到商4和余下的1是什么意思，4表示4条船，1表示如果4条船上都坐满5个人，还剩下1个人也需要一条船，因此必须用5条船才可以。而对这个实际问题来讲，这只是一种解决的方法。还可以3条船上各乘5个人，另外两条船上各乘3个人；或一条船上乘5个人，4条船上各乘4个人等。通过计算可以解决这个问题，但找到答案的方法并非只有一种，答案也并非只有一个。学生在探索实际问题的过程中，会切实了解计算的意义和如何运用计算的结果。
随着学生年龄的增长和知识经验的丰富，引导学生探索数、形及实际问题中蕴涵的关系和规律，初步掌握一些有效地表示、处理和交流数量关系以及变化规律的工具，会进一步增强学生的数感。把数感的建立与数量关系的理解和运用结合起来，与符号感的建立和初步的数学模型的建立结合起来，将有助学生整体数学素养的提高。
培养学生的数感应当成为中小学数学教育的重要目标之一，《标准》中确定了这方面的目标与要求，在实际教学中需要结合具体的教学内容有意识设计具体目标，提供有助于培养学生数感的情境、有利于发展学生数感的评价方式，以促进学生数感的建立和数学素养的提高。
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