先给出黎曼函数的定义

http://s8/middle/a73efbabhc8f55a58ac37&690

题目要求证明，黎曼函数的每一点的极限都是0。

先给出我的证明方式，在图书馆苦思冥想想了一个小时，我太弱了……不过没有放弃就是~鼓鼓掌~估计中间有很多不严密的地方……不过呢，不过应该还是差不多的……后来对比了一下网上放的证明方式发现原理是差不多的……

先给出有理数集的一种“形象化”表达方法……

http://s4/middle/a73efbabhc8f565e8e543&690
比较蛋疼就是了……应该没错的……

本来打算手写的后来感觉一方面自己的字实在是惨不忍睹，另一方面现在也懒得写了，SO……上MATHTYPE……

结论证明缺陷百出，不过还是不忍心把我的“研究成果”埋没了……so……博君一笑而

http://s10/middle/a73efbabh7a80f47d6c79&690

最后附上证明方法，我第一次见到这个方法是在《微积分学教程》

但是似乎数学分析课本上给的习题是证明在x属于R成立，这个没有答案所以不得而知，教程上给的定义x属于(0,1)，这个我在求证一下吧……

黎曼函数定义;　R(x)=0，如果x=0，1或(0,1)内的无理数； 　　R(x)=1/q，如果x=p/q（p/q为既约真分数），即x为(0,1)内的有理数。
定理：黎曼函数在区间(0,1)内的极限处处为0。 　　证明：对任意x0∈(0,1)，任给正数ε，考虑除x0以外所有黎曼函数的函数值大于等于ε的点，因为黎曼函数的正数值都是1/q的形式（q∈N+），且对每个q，函数值等于1/q的点都是有限的，所以除x0以外所有函数值大于等于ε的点也是有限的。设这些点，连同0、1，与x0的最小距离为δ，则x0的半径为δ的去心邻域中所有点函数值均在[0,ε)中，从而黎曼函数在x->x0时的极限为0。 　　推论：黎曼函数在(0,1)内的无理点处处连续，有理点处处不连续。 　　
“对x=0,只需考虑有极限，证明完全一样。”

问题讨论：

我想对这个结论的证明你肯定看到了，并且结论是这样的。你感觉矛盾是直观上不接受。
尽管有理点在这个区间上稠密，但有理点的取值能取大的很少（大小只是相对。实际上，给定任何一个小于1的数，能取比这个数大的有理点都是有限个），【这些大的数值是不在这个区间上稠密的】。任意给定一个小于1的数，在这个区间任何子区间上都能找到一个更小的子区间，在这个小的子区间上，尽管有有理数，但有理点的函数值能比给定的数小。所以极限处处为0不难理解。
这样，在无理点的任何邻域尽管有无穷多个有理点，但数值大的不多（给定一个小于1的数，只有有限个有理点的数值能比这个数大），剩下的无穷多个有理点函数值都很小，和0差不多。因此在无理点连续很正常。
对有理点处处不连续，因为对固定的有理点它的函数值是确定的值，而它的任何邻域里总有无理点。还有函数值比这点的函数值更小的无穷多个有理点，这样它和附近的函数值差别就比较大。
连续的本质就是两点距离很近，则函数值就差不多。在有理点做不得这一点。

http://zhidao.baidu.com/question/401774787.html

写的挺不错的，顺便膜拜

另：关于这个证明请各路大神指教，谢谢！

补充后记：问了一下李辉来老师，李老居然懂我的意思……不过我的证明有点语言上的不严谨，另外略微混乱，因为是要证明极限为0不是连续性，叙述有点问题，思路可取不过略不正常……