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素数间隔定理及其特性

(2023-05-13 16:41:25)

素数间隔定理及其特性

在自然数的数列中以不同形式的间隔排列着素数与合数,除2以外的所有偶数都是合数,其余的合数都是奇合数,奇合数(下称合数)是素数“积”,2个以上的连续合数形成合数数列,从而形成素数间隔。任意合数h可由下式表示,即:

h=p^a1*p^a2*…*p^an=(p^an)                  (1)

其中:a0,  p=3p=5p=7.....  p=p

在奇数数列中相邻2个素数被连续的合数h分开,形成相邻的素数间隔,素数间隔表示为p(a↔b),因为素数间隔是连续的合数h形成的合数链,可由下式表示:

p(a↔b)=ha*hb*…*hn,= (h)                 2

其中:(1)   ,ha----前一个素数后的合数。

hn----后一个素数前的合数。

h=p^a1*p^a2*…*p^an=(p^an)

p(a↔b)=ha*hb*…*hn,= (h) 

∴∏(h)=(p^an)                           (3)

公式(3)是形成素数间隔的充要条件,当相邻素数之间只有一个偶数时则素数没有间隔p(a↔b)=2,是为孪生素数;当相邻素数之间有一个以上合数(含2个偶数)则:

素数间隔p(a↔b)= hn- ha+3 。                 4             

1:验证89~97之间的素数间隔。

该区间有合数91,93,95

    91=7*1393=3*31 95=5*19

∴根据(3)式,91*93*95=3*5*7*13*19*31=803985

则,p(a↔b)=95-91+3=7

2:验证317~331之间的素数间隔

该区间有合数319,321,323,325,327,329

319=11*29,321=3*107,323=17*19,325=13*25,327=3*109,329=7*47,

∴根据(3)式319*321*323*325*327*329=3^2*5^2*7*11*13*17819*29*47*107*109=1156445709994575.

则,p(a↔b)=329-319+3=13.

 

公式(3)为素数间隔定理,即:在自然数奇数数列中,当相邻素数中存在关系式【(h)=(p^an)】时就有产生相邻合数链的充要条件,则素数间隔p(a↔b)= hn- ha+3

公式(3)与公式(4)都是不定方程,素数间隔定理有以下重要性质:

一, 性质1,把p(a↔b)= hn- ha+3 改成p(a↔b)=x hn-x ha+3其值不变,因此有任意多个间隔相同的相邻素数对。

二, 性质2,公式中的( hn- ha可以任意变化,说明合数链可以任意长,但是这仅仅是理论分析,与事实相悖,因为当 hn→∞时如果 ha=9,则 hn ha之间存在大量素数,所以素数间隔永远不会等于无穷。

三, 性质3,合数链的长度受至于计算能力及数值相互关系的制约,为了证明此结论的正确性我们可以把公式(2)做如下修改:

原式p(a↔b)=ha*hb*…*hn,= (h)

Mn=p(a↔b)=ha*ha*ha*。。。hn则有Mn= ha^x,因为ha是合数链的首项,所以有下式:

hha

Mn=ha^x(h)                          5

那么Mn=ha^x hn- ha+3                    6

则有ha=xMn)                              7

(7)式中的x作为相邻素数的最大间隔最合适,当Mn)为常数时,hax互为反函数,就是说合数增大时素数间隔变小,反之,合数减小时素数间隔增大。

4,性质4,公式(6)中的ha^x是指数函数,是可以在计算能力允许条件下取最大值,而计算能力是指计算机的能力,当前普通计算机的能力小于10^10000方,所以相邻素数最大间隔远小于10000,甚至小于3000,一般情况下小于420

5,因为ha^x是指数函数Mn=ha^xx对于Mn)仅仅是指数,两者不是一个数量级,在x增长的同时Mn)成几何级数增长,而当Mn)→∞时x远远小于∞,从而证明用(N+N)/N的理论证明相邻素数间隔p(a↔b)→∞是非常错误的!

结论:素数间隔呈竹节状态分布,有常态(竹杆)与聚集态(竹节)分布,且随着自然数增大,常态(竹杆)与聚集态(竹节)随着增大,其素数间隔的数量由公式(6)给出,绝大多数情况下素数间隔呈常态化,一般小于420,少数呈聚集态,素数间隔在420~630之间,少有630~3000的素数间隔,更不会大于10000.

 

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