矩阵运算与方程组求解

 

实验1  行列式与矩阵

 

实验目的

掌握矩阵的输入方法. 掌握利用Mathematica (4.0以上版本) 对矩阵进行转置、加、减、

数乘、相乘、乘方等运算, 并能求矩阵的逆矩阵和计算方阵的行列式.

 

基本命令

在Mathematica中, 向量和矩阵是以表的形式给出的.

1. 表在形式上是用花括号括起来的若干表达式, 表达式之间用逗号隔开.

如输入

{2,4,8,16}

{x,x+1,y,Sqrt[2]}

则输入了两个向量.

2. 表的生成函数

(1)     最简单的数值表生成函数Range, 其命令格式如下:

Range[正整数n]—生成表{1,2,3,4,…,n};

Range[m, n]—生成表{m,…,n};

Range[m, n, dx]—生成表{m,…,n}, 步长为dx.

(2) 通用表的生成函数Table. 例如,输入命令

Table[n^3,{n,1,20,2}]

则输出      {1,27,125,343,729,1331,2197,3375,4913,6859}

输入

Table[x*y,{x,3},{y,3}]

则输出      {{1,2,3},{2,4,6},{3,6,9}}

3. 表作为向量和矩阵

一层表在线性代数中表示向量, 二层表表示矩阵. 例如,矩阵

 

可以用数表{{2,3},{4,5}}表示.

输入

A={{2,3},{4,5}}

则输出       {{2,3},{4,5}}

命令MatrixForm[A]把矩阵A显示成通常的矩阵形式. 例如, 输入命令:

MatrixForm[A]

则输出      

但要注意, 一般地, MatrixForm[A]代表的矩阵A不能参与运算.

输入

B={1,3,5,7}

输出为

{1,3,5,7}

输入

MatrixForm[B]

输出为

 

虽然从这个形式看向量的矩阵形式是列向量, 但实质上Mathematica不区分行向量与列向量. 或者说在运算时按照需要, Mathematica自动地把向量当作行向量或列向量.

下面是一个生成抽象矩阵的例子.

输入

Table[a[i,j],{i,4},{j,3}]

MatrixForm[%]

则输出

      

注:这个矩阵也可以用命令Array生成,如输入

Array[a,{4,3}]//MatrixForm

则输出与上一命令相同.

4. 命令IdentityMatrix[n]生成n阶单位矩阵.

例如,输入

IdentityMatrix[5]

则输出一个5阶单位矩阵(输出略).

5. 命令DiagonalMatrix[…]生成n阶对角矩阵.

例如,输入

DiagonalMatrix[{b[1],b[2],b[3]}]

则输出      {{b[1],0,0},{0,b[2],0},{0,0,b[3]}}

它是一个以b[1], b[2], b[3]为主对角线元素的3阶对角矩阵.

6. 矩阵的线性运算:A+B表示矩阵A与B的加法;k*A表示数k与矩阵A的乘法; A.B或

Dot[A,B]表示矩阵A与矩阵B的乘法.

7. 求矩阵A的转置的命令:Transpose[A].

8. 求方阵A的n次幂的命令:MatrixPower[A,n].

9. 求方阵A的逆的命令:Inverse[A].

10.求向量a与b的内积的命令:Dot[a,b].

 

实验举例

 

矩阵A的转置函数Transpose[A]

例1.1 求矩阵的转置.

输入

ma={{1,3,5,1},{7,4,6,1},{2,2,3,4}};

Transpose[ma]//MatrixForm

输出为

 

如果输入

Transpose[{1,2,3}]

输出中提示命令有错误. 由此可见, 向量不区分行向量或列向量.

 

矩阵线性运算

例1.2 设 求

输入

A={{3,4,5},{4,2,6}};

B={{4,2,7},{1,9,2}};

A+B//MatrixForm

4B-2A//MatrixForm

输出为

 

如果矩阵A的行数等于矩阵B的列数, 则可进行求AB的运算. 系统中乘法运算符为“.”, 即用A.B求A与B的乘积, 也可以用命令Dot[A,B]实现. 对方阵A, 可用MatrixPower[A,n]求其n次幂.

例1.3 设 求矩阵ma与mb的乘积.

输入

Clear[ma,mb];

ma={{3,4,5,2},{4,2,6,3}};

mb={{4,2,7},{1,9,2},{0,3,5},{8,4,1}};

ma.mb//MatrixForm

输出为

 

 

矩阵的乘法运算

例1.4 设 求AB与 并求

输入

Clear[A,B];

A={{4,2,7},{1,9,2},{0,3,5}};

B={1,0,1};

A.B

输出为

{11,3,5}

这是列向量B右乘矩阵A的结果. 如果输入

B.A

输出为

{4,5,12}

这是行向量B左乘矩阵A的结果 这里不需要先求B的转置. 求方阵A的三次方, 输入

MatrixPower[A,3]//MatrixForm

输出为

 

例1.5 (教材 例1.1) 设 求 及

输入

  A={{-1,1,1},{1,-1,1},{1,2,3}}

MatrixForm[A]

B={{3,2,1},{0,4,1},{-1,2,-4}}

MatrixForm[B]

3A.B-2A//MatrixForm

Transpose[A].B//MatrixForm

则输出 及 的运算结果分别为

            

 

 

求方阵的逆

例1.6 (教材 例1.2) 设 求

输入

Clear[ma]

ma={{2,1,3,2},{5,2,3,3},{0,1,4,6},{3,2,1,5}};

Inverse[ma]//MatrixForm

则输出

 

注: 如果输入

Inverse[ma//MatrixForm]

则得不到所要的结果, 即求矩阵的逆时必须输入矩阵的数表形式

例1.7 求矩阵 的逆矩阵.

解  A={{7,12,8,24},{5,34,6,-8},{32,4,30,24},{-26,9,27,0}}

MatrixForm[A]

Inverse[A]//MatrixForm

 

例1.8 设 求

输入

Clear[A,B];

A={{3,0,4,4},{2,1,3,3},{1,5,3,4},{1,2,1,5}};

B={{0,3,2},{7,1,3},{1,3,3},{1,2,2}};

Inverse[ma].B//MatrixForm

输出为

 

对于线性方程组 如果A是可逆矩阵, X,b是列向量, 则其解向量为

例1.9 解方程组

输入

Clear[A,b];

A={{3,2,1},{1,-1,3},{2,4,-4}};

b={7,6,-2};

Inverse[A].b

输出为

{1,1,2}

 

求方阵的行列式

例1.10  求行列式

输入

Clear[A];

A={{3,1,-1,2},{-5,1,3,-4},{2,0,1,-1},{1,-5,3,-3}};

Det[A]

输出为

40

 

例1.11 (教材 例1.3) 求

输入

Clear[A,a,b,c,d];

A={{a^2+1/a^2,a,1/a,1},{b^2+1/b^2,b,1/b,1},

{c^2+1/c^2,c,1/c,1},{d^2+1/d^2,d,1/d,1}};

Det[A]//Simplify

则输出

 

 

例1.12 计算范德蒙行列式

输入

Clear[x];

Van=Table[x[j]^k,{k,0,4},{j,1,5}]//MatrixForm

输出为

 

再输入

Det[van]

则输出结果比较复杂(项很多)若改为输入

Det[van]//Simplify

或

Factor[Det[van]]

则有输出

(x[1]-x[2])(x[1]-x[3])(x[2]-x[3])(x[1]-x[4])

(x[2]-x[4])(x[3]-x[4])(x[1]-x[5])(x[2]-x[5])

(x[3]-x[5])(x[4]-x[5])

 

例1.13 (教材 例1.4) 设矩阵  求

输入

            A={{3,7,2,6,-4},{7,9,4,2,0},{11,5,-6,9,3},{2,7,-8,3,7},{5,7,9,0,-6}}

MatrixForm[A]

Det[A]

Tr[A]

MatrixPower[A,3]//MatrixForm

则输出 分别为

11592

3

       

 

向量的内积

向量内积的运算仍用“.”表示, 也可以用命令Dot实现

例1.14 求向量 与 的内积.

输入

u={1,2,3};

v={1,-1,0};

u.v

输出为

-1

或者输入

Dot[u,v]

所得结果相同.

 

 

实验习题

1.设 求 及

2.设 求 一般地  (k是正整数).

3.求 的逆.

4.设 且 求

5.利用逆矩阵解线性方程组

 

 

实验2  矩阵的秩与向量组的极大无关组

 

实验目的  学习利用Mathematica求矩阵的秩,作矩阵的初等行变换; 求向量组的秩与极大无关组.

 

基本命令

1. 求矩阵M的所有可能的k阶子式组成的矩阵的命令:Minors[M,k].

2. 把矩阵A化作行最简形的命令:RowReduce[A].

3. 把数表1,数表2, …,合并成一个数表的命令:Join[list1,list2,…]. 例如输入

Join[{{1,0,-1},{3,2,1}},{{1,5},{4,6}}]

则输出      {{1,0,-1},{3,2,1},{1,5},{4,6}}

 

实验举例

 

求矩阵的秩

例2.1 (教材 例2.1) 设  求矩阵M的秩.

输入

Clear[M];

M={{3,2,-1,-3,-2},{2,-1,3,1,-3},{7,0,5,-1,-8}};

Minors[M,2]

则输出

{{-7,11,9,-5,5,-1,-8,8,9,11},{-14,22,18,-10,10,-2,

-16,16,18,22},{7,-11,-9,5,-5,1,8,-8,-9,-11}}

可见矩阵M有不为0的二阶子式. 再输入

Minors[M,3]

则输出

{{0,0,0,0,0,0,0,0,0,0}}

可见矩阵M的三阶子式都为0. 所以

例2.2 已知矩阵 的秩等于2, 求常数t的值.

左上角的二阶子式不等于0. 三阶子式应该都等于0. 输入

Clear[M];

M={{3,2,-1,-3},{2,-1,3,1},{7,0,t,-1}};

Minors[M,3]

输出为

{{35-7t,45-9t,-5+t}}

当 时, 所有的三阶子式都等于0. 此时矩阵的秩等于2.

 

例2.3 (教材 例2.2) 求矩阵 的行最简形及其秩.

输入

  A={{6,1,1,7},{4,0,4,1},{1,2,-9,0},{-1,3,-16,-1},{2,-4,22,3}}

MatrixForm[A]

RowReduce[A]//MatrixForm

则输出矩阵A的行最简形

               

根据矩阵的行最简形,便得矩阵的秩为3.

 

矩阵的初等行变换

命令RowfReduce[A]把矩阵A化作行最简形. 用初等行变换可以求矩阵的秩与矩阵的逆.

例2.4 设 求矩阵A的秩.

输入

Clear[A];

A={{2,-3,8,2},{2,12,-2,12},{1,3,1,4}};

RowReduce[A]//MatrixForm

输出为

 

因此A的秩为2.

例2.5 (教材 例2.3) 用初等变换法求矩阵 的逆矩阵.

输入  A={{1,2,3},{2,2,1},{3,4,3}}

MatrixForm[A]

Transpose[Join[Transpose[A],IdentityMatrix[3]]]//MatrixForm

RowReduce[%]//MatrixForm

Inverse[A]//MatrixForm

则输出矩阵A的逆矩阵为

     

 

向量组的秩

矩阵的秩与它的行向量组, 以及列向量组的秩相等, 因此可以用命令RowReduce求向量组的秩.

例2.6 求向量组 的秩.

将向量写作矩阵的行, 输入

Clear[A];

A={{1,2,-1,1},{0,-4,5,-2},{2,0,3,0}};

RowReduce[A]//MatrixForm

则输出

 

这里有两个非零行, 矩阵的秩等于2. 因此, 它的行向量组的秩也等于2.

 

例2.7 (教材 例2.4) 向量组 是否线性相关?

输入

Clear[A];

A={{1,1,2,3},{1,-1,1,1},{1,3,4,5},{3,1,5,7}};

RowReduce[A]//MatrixForm

则输出

 

向量组包含四个向量, 而它的秩等于3, 因此, 这个向量组线性相关.

 

例2.8 向量组 是否线性相关?

输入

Clear[A];

A={{2,2,7},{3,-1,2},{1,1,3}};

RowReduce[A]//MatrixForm

则输出

 

向量组包含三个向量, 而它的秩等于3, 因此, 这个向量组线性无关.

 

向量组的极大无关组

例2.9 (教材 例2.5) 求向量组

 

的极大无关组, 并将其它向量用极大无关组线性表示.

输入

Clear[A,B];

A={{1,-1,2,4},{0,3,1,2},{3,0,7,14},{1,-1,2,0},{2,1,5,0}};

B=Transpose[A];

RowReduce[B]//MatrixForm

则输出

 

在行最简形中有三个非零行, 因此向量组的秩等于3. 非零行的首元素位于第一、二、

四列,因此 是向量组的一个极大无关组. 第三列的前两个元素分别是3,1,于是

第五列的前三个元素分别是 于是

 

向量组的等价

可以证明:两个向量组等价的充分必要条件是: 以它们为行向量构成的矩阵的行最简形具有相同的非零行, 因此, 还可以用命令RowReduce证明两个向量组等价.

例2.10 设向量

 

求证:向量组 与 等价.

将向量分别写作矩阵A, B的行向量, 输入

Clear[A,B];

A={{2,1,-1,3},{3,-2,1,-2}};

B={{-5,8,-5,12},{4,-5,3,-7}};

RowReduce[A]//MatrixForm

RowReduce[B]//MatrixForm

则输出

 

与

 

两个行最简形相同, 因此两个向量组等价.

 

 

实验习题

1.求矩阵 的秩.

2.求t, 使得矩阵 的秩等于2.

3.求向量组 的秩.

4.当t取何值时, 向量组 的秩最小?

5.向量组 是否线性相关?

6.求向量组 的最大线性无关组. 并用极大无关

组线性表示其它向量.

7.设向量 求证:向量组

与 等价.

 

 

实验3  线性方程组

 

实验目的  熟悉求解线性方程组的常用命令,能利用Mathematica命令各类求线性方程

组的解. 理解计算机求解的实用意义.

 

基本命令

1.命令NullSpace ,给出齐次方程组 的解空间的一个基.

2.命令LinearSolve ,给出非齐次线性方程组 的一个特解.

3.解一般方程或方程组的命令Solve见Mathematica入门.

 

实验举例

 

求齐次线性方程组的解空间

设 为 矩阵, 为 维列向量,则齐次线性方程组 必定有解. 若矩阵 的

秩等于 ,则只有零解;若矩阵 的秩小于 ,则有非零解,且所有解构成一向量空间. 命令

NullSpace给出齐次线性方程组 的解空间的一个基.

例3.1 (教材 例3.1) 求解线性方程组

输入

Clear[A];

A={{1,1,-2,-1},{3,-2,-1,2},{0,5,7,3},{2,-3,-5,-1}};

NullSpace[A]

则输出

{{-2,1,-2,3}}

说明该齐次线性方程组的解空间是一维向量空间,且向量(-2,1,-2,3)是解空间的基.

    注:如果输出为空集{  },则表明解空间的基是一个空集,该方程组只有零解.

 

例3.2  求解线性方程组

输入

Clear[A];

A={{1,1,2,-1},{3,-2,-3,2},{0,5,7,3},{2,-3,-5,-1}};

Nullspace[A]

输出为

{  }

因此解空间的基是一个空集,说明该线性方程组只有零解.

 

例3.3 (教材 例3.2) 向量组 是否线性相关?

根据定义, 如果向量组线性相关, 则齐次线性方程组

 

有非零解.

输入

Clear[A,B];

A={{1,1,2,3},{1,-1,1,1},{1,3,4,5},{3,1,5,7}};

B=Transpose[A];

NullSpace[B]

输出为

{{-2,-1,0,1}}

说明向量组线性相关,且

 

非齐次线性方程组的特解

例3.4 (教材 例3.3) 求线性方程组  的特解.

输入

Clear[A,b];

A={{1,1,-2,-1},{3,-2,-1,2},{0,5,7,3},{2,-3,-5,-1}};

b={4,2,-2,4}

LinearSolve[A,b]

输出为

{1,1,-1,0}

注: 命令LinearSolve只给出线性方程组的一个特解.

 

例3.5 求线性方程组  的特解.

输入

Clear[A,b];

A={{1,1,2,-1},{3,-2,-1,2},{0,5,7,3},{2,-3,-5,-1}};

b={4,2,2,4}

Linearsolve[A,b]

输出为

Linearsolve::nosol:Linear equation encountered which has no solution.

说明该方程组无解.

 

例3.6 向量 是否可以由向量

， ，

线性表示?

根据定义, 如果向量 可以由向量组 线性相关, 则非齐次线性方程组

 

有解.

输入

Clear[A,B,b];

A={{1,2,-3,1},{5,-5,12,11},{0,5,7,3},{1,-3,6,3}};

B=Transpose[A];

b={2,-1,3,4};

Linearsolve[B,b]

输出为

{ , ,0}

说明 可以由 线性表示,且

 

例3.7 (教材 例3.4) 求出通过平面上三点(0,7),(1,6)和(2,9)的二次多项式 并画出其图形.

根据题设条件有  输入

Clear[x];

A={{0,0,1},{1,1,1},{4,2,1}}

y={7,6,9}

p=LinearSolve[A,y]

Clear[a,b,c,r,s,t];{a,b,c}.{r,s,t}

f[x_]=p.{x^2,x,1};

Plot[f[x],{x,0,2},GridLines->Automatic,PlotRange->All];

则输出 的值为

          {2,-3,7}

并画出二次多项式 的图形(略).

 

非齐次线性方程组的通解

用命令Solve求非齐次线性方程组的通解.

 

例3.8 求出通过平面上三点(0,0),(1,1),(-1,3)以及满足 的4次多项式

解  设 则有

 

输入

Clear[a,b,c,d,e];q[x_]=a*x^4+b*x^3+c*x^2+d*x+e;

eqs=[q[0]= =0,q[1]= =1,q[-1]= =3,q’[-1]= =20,q’[1]= =9];

{A,y}=LinearEquationsToMatrices[eqs,{a,b,c,d}];

p=LinearSolve[A,y];f[x_]=p.{x^4,x^3,x^2,x,1};

Plot[f[x],{x,-1,1},GridLines->Automatic,PlotRange->All];

则输出所求多项式

 

 

非齐次线性方程组的通解

用命令solve求非齐次线性方程组的通解.

例3.9解方程组  

输入

  solve[{x-y+2z+w==1,2x-y+z+2w==3,x-z+w==2,3x-y+3w==5},{x,y,z,w}]

输出为

{{x 2-w+z,y 1+3z}}

即 , .于是,非齐次线性方程组的特解为(2,1,0,0).对应的齐次线性方程组的基础解系为(1,3,1,0)与(-1,0,0,1).

例3.10解方程组

解法1  用命令solve

输入

  solve[{x-2y+3z-4w==4, y-z+w==-3,x+3y+w==1,-7y+3z+3w==-3},{x,y,z,w}]

输出为

{{x -8,y 3, z 6, w 0}}

即有唯一解 , ， ， .

解法2  这个线性方程组中方程的个数等于未知数的个数,而且有唯一解 ,此解可以表示为 .其中 是线性方程组的系数矩阵,而 是右边常数向量. 于是, 可以用逆阵计算唯一解.

输入

Clear[A,b,x];

A={{1,-2,3,-4},{0,1,-1,1},{1,3,0,1},{0,-7,3,1}};

b={4,-3,1,-3};

    x=Inverse[A].b

输出为

{-8,3,6,0}

解法3  还可以用克拉默法计算这个线性方程组的唯一解.为计算各行列式,输入未知数的系数向量,即系数矩阵的列向量.

输入

Clear[a,b,c,d,e];

a={1,0,1,0};

b={-2,1,3,-7};

c={3,-1,0,3};

d={-4,1,1,1};

e={4,-3,1,-3};

Det[{e,b,c,d}]/ Det[{a,b,c,d}]

Det[{a,e,c,d}]/ Det[{a,b,c,d}]

Det[{a,b,e,d}]/ Det[{a,b,c,d}]

Det[{a,b,c,e}]/ Det[{a,b,c,d}]

 

输出为

-8

3

6

0

例3.10 (教材 例3.5) 当 为何值时,方程组无解、有唯一解、有无穷多解?当方程组有

解时,求通解.

先计算系数行列式,并求 ,使行列式等于0.

输入

Clear[a];

Det[{{a,1,1},{1,a,1},{1,1,a}}];

Solve[%==0,a]

则输出

{{a -2},{a 1},{a 1}}

当 , 时,方程组有唯一解.输入

Solve[{a*x+y+z==1,x+a*y+z==1,x+y+a*z==1},{x,y,z}]

则输出{{x  y  z }}

当 =-2时,输入

Solve[{-2x+y+z==1,x-2y+z==1,x+y-2z==1},{x,y,z}]

则输出

{   }

说明方程组无解.

当 =1时,输入

Solve[{x+y+z==1,x+y+z==1,x+y+z==1},{x,y,z}]

则输出

{{x 1-y-z}}}

说明有无穷多个解.非齐次线性方程组的特解为(1,0,0),对应的齐次线性方程组的基础解

系为为(-1,1,0)与(-1,0,1).

 

例3.11 (教材 例3.6) 求非齐次线性方程组 的通解.

解法1 输入

A={{2,1,-1,1},{3,-2,1,-3},{1,4,-3,5}};b={1,4,-2};

particular=LinearSolve[A,b]

nullspacebasis=NullSpace[A]

generalsolution=t*nullspacebasis[[1]]+k*nullspacebasis[[2]]+Flatten[particular]

generalsolution//MatrixForm

解法2 输入

B={{2,1,-1,1,1},{3,-2,1,-3,4},{1,4,-3,5,-2}}

RowReduce[B]//MatrixForm

根据增广矩阵的行最简形, 易知方程组有无穷多解. 其通解为

  (k,t为任意常数)

 

 

实验习题

1.解方程组

2.解方程组

3. 解方程组

4.解方程组

5.用三种方法求方程组 的唯一解.

6.当 为何值时,方程组 有唯一解、无解、有无穷多解?对后

者求通解.

 

实验4  交通流模型(综合实验)

实验目的  利用线性代数中向量和矩阵的运算, 线性方程组的求解等知识,建立交通流

模型. 掌握线性代数在交通规划方面的应用.

应用举例

假设某城市部分单行街道的交通流量(每小时通过的车辆数)如图4.1所示.

                                 图4.1

 

试建立数学模型确定该交通网络未知部分的具体流量.

假定上述问题满足下列两个基本假设

(1)全部流入网络的流量等于全部流出网络的流量;

(2)全部流入一个节点的流量等于流出此节点的流量.

于是, 根据图4.1及上述基本两个假设, 可建立该问题的线性方程组

 

即

 

若将上述矩阵方程记为 ,则问题就转化为求 的全部解. 下面我们利用

Mathmatica软件来求解

1、输入矩阵A,并利用RowReduce[A]命令求得A的秩为8.

    输入

RowReduce[A]//MatrixForm

Out[2]//MatrixForm=

则输出

 

2、应用命令NullSpace[A]求出齐次线性方程组 的基础解系.

    输入

In[3]:=NullSpace[A]//MatrixForm

Out[3]//MatrixForm=

则输出

 

由此即得到所求齐次线性方程组的基础解系:

, ( 为任意常数).

3、输入增广阵(A b),求出其秩为8, 由 知方程组有无穷多个解.

输入

RowReduce[Ab]//MatrixForm

Out[5]//MatrixForm=

则输出

 

4、应用命令LinearSolve[A, b],求得非齐次线性方程组 的一个特解.

输入

LinearSolve[A,b]

Out[9]={{800},{0},{200},{500},{0},{800},{1000},{0},{400},{600}}

则得到所求非齐次线性方程组的一个特解:

 

综上所述,我们就得到了非齐次线性方程组 的全部解为

 ( 为任意常数).

在解的表示式中, 的每一个分量即为交通网络中未知部分的具体流量, 该问题有无穷

多解(为什么? 并思考其实际意义).

 

本模型具有实际应用价值, 求出该模型的解, 可以为交通规划设计部门提供解决交通堵

塞、车流运行不畅等问题的方法, 知道在何处应建设立交桥, 那条路应设计多宽等, 为城镇

交通规划提供科学的指导意见. 但是,在本模型中,我们只考虑了单行街道这样一种简单情形,

更复杂的情形留待读者在更高一级的课程中去研究. 此外,本模型还可推广到电路分析中的

网络节点流量等问题中.

 

实验报告

请读者应用本模型的思想方法, 为你所在或你熟悉的城镇建立一个区域的交通流量模

型. 并提供一个具体的解决方案, 即从无穷多个解中根据具体限制确定出一个具体的解决方

案.