三角函数题选解.14

 

问题：如图，AD∥BC，AB⊥AD，点E，点F分别在射线

           AD，射线BC上，若点E与点B关于AC对称，若点E

      与点F关于BD对称，AC与BD相交于G。

问：下列结论哪一个正确：

A. 1+tan∠AGB = √2   

B.  2BC = 5CF

C. ∠AEB + 22⁰ = ∠DEF 

D.  4cos∠AGB=√6

 

一、关于“A. 1+tan∠AOB =√2”解题思路：

1、连接EC、FD两线，设AC、BE交于点O，如图2所示：

 

2、设AB=a，

求证四边形ABCE是正方形，且O为中心点；

∴ ∠ACB = 45⁰

       BE = √2a

3、求证四边形BEDF是边长为√2a的菱形，且∠EBF = 45⁰

∴ ∠DBF = 45⁰/2

∠BFE = (180⁰- 45⁰)/2 = 135⁰/2

又 ∠AGB = ∠ACB + ∠CBD

 = 45⁰ + 45⁰/2

 = 135⁰/2

∴ ∠AGB = ∠BFE

tan∠AGB = tan∠CFE = CE/CF

= a /(√2a - a)

= 1/(√2 - 1)

= √2 + 1

∴ A. 1+tan∠AOB =√2 不成立

二、关于“B.  2BC = 5CF”解题思路：

由上可知：

   BC = a

   CF = √2a – a

   ∴  BC/CF = a/(√2a - a)

            = √2 + 1

            ≠ 5/2

∴ B.  2BC = 5CF 不成立

 

三、关于“C. ∠AEB + 22.5⁰ = ∠DEF”解题思路：

由上可知：∠DEF = ∠BFE = 135⁰/2 = 67.5⁰

          ∠AEB + 22.5⁰ = 45⁰ + 22.5⁰ = 67.5⁰

∴ ∠AEB + 22.5⁰ = ∠DEF

∴ C. ∠AEB + 22.5⁰ = ∠DEF 成立

 

四、关于“D.  4cos∠AGB=√6”解题思路：

由上可知：∠AGB = ∠BFE

∴  cos∠AGB = cos∠BFE

又 EF² = CF² + CE²

EF² = a² + (√2a - a)²

= a² + (√2 - 1)²a²  

= (4 - 2√2)²a²  

     ∴ cos∠AGB = cos∠BFE

                = CF/EF

                =√(4 - 2√2)

                ≠ √6/4

∴ D.  4cos∠AGB=√6 不成立

 

总之，本题只有：

         C. ∠AEB + 22.5⁰ = ∠DEF 成立

    

 

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