初中几何题选解.67

 

问题：如图，正方形ABCD中，M、N分别为BC、CD边上的点，且∠MAN = 45⁰

 

求证：

（1） BM + DN = MN

（2）△CMN的周长等于正方形边长的2倍

（3）EF² = BE² + DF²

（4）△AEN、△AFM都是等腰直角三角形

（5）S_△AMN = 2S_△AEF 

 

（1）求证BM + DN = MN的解题思路：

1、    过A点作AH⊥MN，交MN于H，如图2所示。

 

2、求证 △ABM ≌ △AHM

3、求证 ∠HAN = ∠HAM

4、求证△AHN ≌ △AND

   ∴ BM + DN = MH + HN = MN

∴   BM + DN = MN    ∥

 

（2）     求证△CMN的周长等于正方形边长的2倍的解题思路：

1、    △CMN的周长 = CM + CN + MN

= CM + CN + BM + DN

= （CM + BM） +（ CN + DN）

=  BC + DC

= 正方形边长的2倍

 

（3）求证EF² = BE² + DF²的解题思路：

1、过B点作CB延长线到K点，使得BK=DN，连AK，在AK上取P点，使得KP=NF，连PB、PE、PF，如图3所示。

 

2、求证 △ABK ≌ △AND

   ∴ AK = AN

3、求证 △BKP ≌ △DFN

4、求证 AK ⊥ AN

又 AP = AF

∴  △APF为直角等腰三角形，且AE是PF垂直平分线

5、求证 △APE ≌ △AFE

   ∴ PE = EF

6、∵ △BPE 是直角三角形

   ∴ PE² = BE² + PB²

    ∴  EF² = BE² + DF²             ∥

 

（4）求证△AEN、△AFM都是等腰直角三角形的解题思路：

1、过B点作CB延长线到K点，使得BK=DN，连AK，在AK上取P点，使得KP=NF，连PM，如图4所示。

2、求证 △ABK ≌ △AND

3、求证 AK ⊥ AN

4、求证 △AMK ≌ △AMN

5、求证 △KMP ≌ △FMN

   ∴  PM = FM

6、求证 △AMP ≌ △AMF

   ∴ 四边形APMF是正方形

   ∴ △AFM是等腰直角三角形

类似地可以证明：

△AEN是等腰直角三角形

 

（5）求证S_△AMN = 2S_△AEF的解题思路：

1、在AM延长线取Q点，使得EQ = AE，连QN、QF，如图5所示。

 

2、（4）命题中已经证明：

△AEN是等腰直角三角形

3、求证△AEN ≌ △QEN

∴ QN ⊥ AN   （1）

4、（4）命题中已经证明：

△AFM是等腰直角三角形

      ∴ MF ⊥ AN   （2）

5、比较（1）、（2）两式可得：

         MF ∥ QN

6、求证S_△MFN = S_△MFQ

7、S_△AMN = S_△AEF + S_AEMN

= S_△AEF + （S_△EFM  + S_△FMN ）

= S_△AEF + （S_△EFM  + S_△MFQ ）

= S_△AEF + S_△EFQ 

= 2S_△AEF               

 

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一、初中几何题集.1 (第1题 ------- 第20题)

二、初中几何题集.2 (第21题 ------- 第40题)

三、初中几何题集.3(第41题  ------- 第60题)

四、初中几何题选解.61

五、初中几何题选解.62

六、初中几何题选解.63

七、初中几何题选解.64

八、初中几何题选解.65

九、初中几何题选解.66

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