起床后，物理系室友问我的第一个问题是：“‘点动成线’是怎么回事儿？”

        我突然愣住了。这并不是因为之前没有思考过这个问题。恰恰相反，我清楚地记得，初中几何课，老师讲“点动成线”、“点没有长度”的时候，我就问老师，假设有一条线，我挖掉一个点，应该有光可以透过去啊，为什么说这个点没有长度？老师当然是叫我不要钻牛角尖。确实，那时候要想清楚不容易。

       后来上大学进入了微积分时代，在古希腊芝诺问题（飞矢、兔）和考研数学题的启发下，我认为自己找到了答案：点的长度应该是无穷小，不是0；无穷多的无穷小，构成了线段的长度；而无穷多的（严格的）0加起来，只能是0（求极限遇到0*∞，只要0是严格的0，不是无穷小，极限不都是0吗）。这个想法占据我的认识直到今天早上。

        我之所以愣住，是因为在进入实分析时代之后，我发现我可以用更加严谨的概念来检视之前的认识。什么是点的长度呢？实数域上的点集，我们用（Lebesgue）外测度去衡量点集的总“长度”。而任何可数集（包括一个单点）的外测度都是0。这么说来，点的长度确实是0啊！

        为了想通这一点，需要检查一下外测度的含义是否符合常识（数学中出现一些与经验或说物理世界有差距的概念是很正常的）。外测度定义为：可数个覆盖点集的有界开区间的长度的和的下确界。这基于区间的长度，而区间的长度是源自常识的。其实对于点的长度不需要那么复杂，只需要定义区间的长度就可以了。因为实数域的区间套公理告诉我们，点相当于有界闭区间套序列的交的极限，考虑到所有闭区间都是可测的（因此外测度就是测度），（Lebesgue）测度是连续的，于是点的长度就是区间序列的长度的极限，显然是0。当然，可以用外测度定义绕开测度及其性质，因为显然可以构造一个覆盖某点的开区间序列，使其长度极限为0。

        回想之前“点的长度为无穷小”的认识，其实非常不合理。“无穷小”这个著名的历史概念，在目前普通的分析系统中，是一个变量（景继良教授交给我的），或者一个映射（Umesh教授交给我的）。一个东西的长度，怎么能是变量呢？这不太符合常识。

        搞清点的长度，再来看“点动成线”。“点动成线”数学上其实描述的是一个积分的过程：“动”就是有速度，“动”而后“成”，就是速度在时间上积累。矢量速度（我们说这句话时，显然指的是可积的速度）对时间的积分成为位移，这个位移随时间上限变化，在空间划过一条轨迹（点集），而标量速率对时间的积分则形成了轨迹线段的长度。

        而从（定）积分的定义可知，积分相当于求可数无穷多个无穷小的和（当然，严格地表述是有限多个有限长度的极限，这里把极限的含义也展开），这是把曲线拆分成了可数无穷多个无穷小线段，而不是点。于是，无穷多个有长度的东西加一块儿，当然有长度，点动成线，并不奇怪。

        当然，你可以说积分只是一种计算方法，本身不一定反映某种“本质”（虽然目前运动学基于微积分的基本定义已经深入人心了），因为积分定义还是没有解释：那些作为元件的“无穷小线段”是怎么由长度为0的点在无穷小时间内运动，就生出长度的。

        于是退回到点和点集的关系来看点和线的关系，想想为什么无穷多个长度为0的东西搁一块儿，就有了长度。为什么不能呢？因为我们认为0+0=0，这是严格的，毋庸置疑的；无数个（严格的）0加起来，必然还是0。然而，问题就在这里！具体说，前半句正确，后半句不对。产生这个错误，源自对可数无穷多（countable infinite）与不可数无穷多（uncountable）的区别不敏感。事实上，加法是作为一个二元计算被定义的；定义实数域中的0，也只需要一个二元计算a+0=a。因此，要实现“把无数个0加在一起”，这里的“无数个”只能是可数无穷多，否则无法列出式子，也就无法分解为二元加法计算，最后无法使用元素0的定义。当乘法作为加法的紧凑形式时，0*∞这个极限中的∞，是一个趋于无穷大序列，如果是整数序列，其实也只能表示可数无穷多。

        也就是说，我们常识中的加法运算，根本不支持把一条线段上的所有点的长度加起来这个操作；反过来说，如果能定义一种不可数无穷多元的“和”运算，那么在这种运算下，不可数无穷多个0的“和”是个非零实数，并不违反常识。不过，如果真能定义这样的计算，说明对不可数无穷多集合的元素数量，存在比“势”精确得多的描述，这超出了我的知识水平。

        反过来看，积分（或说与之相符的物理世界）真是很讨巧的事儿，把不可数无穷多个元素的总体特征，用可数无穷多个测度趋于0的可测集的特征（的简单综合）精确地替代了。

        最后要说的是，“点动成线”这个物理过程可以用上述数学概念去分析的一个前提，是认为物理空间这里涉及的性质与实数空间完全一致。若非如此，例如按圈量子引力理论的描述，在普朗克尺度下空间是离散的，那么上文的理解，以及普通分析学与物理运动学的关系，都可能要改写了。