原则：不论出现什么字母，诱导公式里的【角α、β、x、y...】一律看做【锐角】

百度关键字（Keyword）：三角函数诱导公式

------------------------记住原则，别转角度转晕了------------------------

正角：逆时针转为正角

负角：顺时针转为负角

常用公式

公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin（2kπ+α）=sinα （k∈Z）

cos（2kπ+α）=cosα （k∈Z）

tan（2kπ+α）=tanα （k∈Z）

【（2kπ+α）是第一象限角】

公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：

sin（π+α）= —sinα

cos（π+α）=—cosα

tan（π+α）= tanα

【（π+α）是第三象限角】

公式三： 任意角α与-α的三角函数值之间的关系：

sin（－α）=—sinα

cos（－α）= cosα

tan（－α）=—tanα

【（- α）是第四象限角】

公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π－α）= sinα

cos（π－α）=－cosα

tan（π－α）=－tanα

【（π-α）是第二象限角】

公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin（2π－α）=－sinα

cos（2π－α）= cosα

tan（2π－α）=－tanα

【（2π-α）是第四象限角】

公式六： π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π/2+α）=cosα

sin（π/2－α）=cosα

cos（π/2+α）=－sinα

cos（π/2－α）=sinα

tan（π/2+α）=－cotα

【（π/2+α）是第二象限角】【（π/2-α）是第一象限角】

推算公式：3π/2 ± α与α的三角函数值之间的关系：

sin（3π/2+α）=－cosα

sin（3π/2－α）=－cosα

cos（3π/2+α）=sinα

cos（3π/2－α）=－sinα

tan（3π/2+α）=－cosα

【（3π/2+α）是第四象限角】【（3π/2-α）是第三象限角】
万能公式推导

sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*，

（因为cos^2(α)+sin^2(α)=1）

再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α=2tanα/(1+tan^2(α))

然后用α/2代替α即可。

同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。

三倍角公式推导

tan3α=sin3α/cos3α

=(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)

=(2sinαcos^2(α)+cos^2(α)sinα－sin^3(α))/(cos^3(α)－cosαsin^2(α)－2sin^2(α)cosα)

上下同除以cos^3(α)，得：

tan3α=(3tanα－tan^3(α))/(1-3tan^2(α))

sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα

=2sinαcos^2(α)+(1－2sin^2(α))sinα

=2sinα－2sin^3(α)+sinα－2sin^3(α)

=3sinα－4sin^3(α)

cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα－sin2αsinα

=[2cos^2(α)－1]cosα－2cosαsin^2(α)

=2cos^3(α)－cosα+[2cosα－2cos^3(α)]

=4cos^3(α)－3cosα

即

sin3α=3sinα－4sin^3(α)

cos3α=4cos^3(α)－3cosα

和差化积公式推导

首先,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb

我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb

同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2

同样的,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb

所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb

同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/2

这样,我们就得到了积化和差的公式:

cosa*sinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2

sina*sinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/2

好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.

我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2

把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:

sinx+siny=2sin[(x+y)/2]*cos[(x-y)/2]

sinx-siny=2cos[(x+y)/2]*sin[(x-y)/2]

cosx+cosy=2cos[(x+y)/2]*cos[(x-y)/2]

cosx-cosy=-2sin[(x+y)/2]*sin[(x-y)/2]
两角和差公式

sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ

sin（α－β）=sinαcosβ-cosαsinβ

cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ

cos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ

tan（α+β）=(tanα+tanβ )/(1－tanα ·tanβ)

tan（α－β）=(tanα－tanβ)/(1+tanα ·tanβ)

二倍角的正弦、余弦和正切公式

sin2α=2sinαcosα

cos2α=cos^2(α)－sin^2(α)=2cos^2(α)－1=1－2sin^2(α)

tan2α=2tanα/(1－tan^2(α))

tan(1/2*α)=(sin α)/(1+cos α)=(1-cos α)/sin α

半角的正弦、余弦和正切公式

sin^2(α/2)=(1－cosα)/2

cos^2(α/2)=(1+cosα)/2

tan^2(α/2)=(1－cosα)/(1+cosα)

tan(α/2)=(1—cosα)/sinα=sinα/1+cosα

万能公式

sinα=2tan(α/2)/(1+tan^2(α/2))

cosα=(1－tan^2(α/2))/(1+tan^2(α/2))

tanα=(2tan(α/2))/(1－tan^2(α/2))

三倍角的正弦、余弦和正切公式

sin3α=3sinα－4sin^3(α)

cos3α=4cos^3(α)－3cosα

tan3α=(3tanα－tan^3(α))/(1－3tan^2(α))

三角函数的和差化积公式

sinα+sinβ=2sin((α+β)/2) ·cos((α－β)/2)

sinα－sinβ=2cos((α+β)/2) ·sin((α－β)/2)

cosα+cosβ=2cos((α+β)/2)·cos((α－β)/2)

cosα－cosβ=－2sin((α+β)/2)·sin((α－β)/2)

三角函数的积化和差公式

sinα·cosβ=0.5[sin(α+β)+sin(α－β)]

cosα·sinβ=0.5[sin(α+β)－sin(α－β)]

cosα·cosβ=0.5[cos(α+β)+cos(α－β)]

sinα·sinβ=－ 0.5[cos(α+β)－cos(α－β)]