丛台区学步桥小学   马雪洁

【内容摘要】数形结合作为一种重要的数学思想，我们可以利用这种思想方法深刻揭示数学问题的本质，可以把抽象的问题形象化，复杂问题简单化。通过数形结合，能够有的放矢地帮助学生从多角度、多层次出发地思考问题， 养成多向性思维的好习惯。引导学生变静态思维方式为动态思维方式，也就是以运动、变化、联系的观点考虑问题，更好地把握事情的本质。数形结合不仅可以使一些题目的解决简捷明快，同时还可以大大开拓我们的解题思路，为研究和探求数学问题开辟了一条重要的途径。这种思想的渗透与利用能创造出高效而有趣的数学课堂。

【关键词】 小学；数；形；数形结合

一、问题的提出     

小学生的思维是从具体形象思维为主要形式,逐步向抽象逻辑思维过渡的，但这时的逻辑思维是初步的，且在很大程度上仍具有具体形象性。因此，培养学生的形象思维能力，既是儿童本身的需要，又是他们学习抽象数学知识的需要。数形结合思想既具有数学学科的鲜明特点，又是数学研究的常用方法，数形结合思想方法的重要性是不言而喻的。

数学课程标准中指出，数学是研究数量关系和空间形式的科学。所有的数学问题无外乎是数与形的问题，也是两个最古老最基本的对象，是数学大厦深处的两块基石。数形结合在数学解题中有重要的指导意义，这种“数”与“形”的信息相互转换，相互渗透，即数量问题和图象性质是可以相互转化的，这不仅可以使一些题目的解决简捷明快，同时还可以大大开拓我们的解题思路，为研究和探求数学问题开辟了一条重要的途径。“数形结合”思想的渗透与利用能创造出高效而有趣的数学课堂。

 

数形结合思想：所谓数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，是一种可使复杂问题简单化、抽象问题具体化的常用的数学思想方法。主要有以下几种解题思路：以“数”变“形”；以“形”变“数”； “形”“数”互变。

二、研究的意义

 “数形结合”既是一个重要的数学思想，又是一种常用的数学方法。数形结合在数学解题中有重要的指导意义，这种“数”与“形”的信息相互转换，相互渗透，即数量问题和图象性质是可以相互转化的，这不仅可以使一些题目的解决简捷明快，同时还可以大大开拓我们的解题思路，为研究和探求数学问题开辟了一条重要的途径。

 “数形结合”能使抽象枯燥的数学知识形象化、具体化，使得数学教学充满乐趣。我们相信巧妙地运用数形结合，一定会引导学生由怕数学变成爱数学。使“数形结合”的思想成为学生运用自如的思想观念和思维工具。为教学过程中“数形结合”思想的渗透与利用提供指导和建议，创造出高效的有趣的数学课堂。

巧妙的运用“数形结合”思想，不仅直观，易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。尤其在解选择题、填空题时更显其优越。在小学数学教学中，数形结合能不失时机地为学生提供恰当的形象材料，可以将抽象的数量关系具体化，把无形的解题思路形象化，不仅有利于学生顺利的、高效率的学好数学知识，更有利于学生学习兴趣的培养、智力的开发、能力的增强，使教学收到事半功倍之效。

三、研究的概念界定

数形结合：“数”和“形”是数学中两个最基本的概念，“数”，属于数学抽象思维范畴，是人的左脑思维的产物；而“形”主要指几何图形，属于形象思维范畴，是人的右脑思维的产物。它们既是对立的，又是统一的，每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之，数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述。数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，化难为易，化抽象为直观．使人充分运用左、右脑的思维功能，相互依存、彼此激发，全面、协调、深入发展人的思维能力。

数形结合作为一种重要的数学思想，可以利用这种思想方法深刻揭示数学问题的本质，可以把抽象的问题形象化，复杂问题简单化。通过数形结合，能够有的放矢地帮助学生从多角度、多层次出发地思考问题， 养成多向性思维的好习惯。引导学生变静态思维方式为动态思维方式，也就是以运动、变化、联系的观点考虑问题，更好地把握事情的本质。

数形结合的思想包括两个方面，一是“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，变抽象思维为形象的思维，提示数学问题的本质。 二是“以数助形”，把直观图形数量化，使之更加精确。“数形结合思想”能把数或者数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质。因此，数形结合是数学发展的需要，是学习数学常用的数学思想方法，是解决数学问题不可或缺的工具。  

四、课题研究目标

（一）促进教师教学意识及行为的转变，使教师们对数形结合思想方法有系统的认识，明确地位、作用。 

（二）根据不同学段学生的认知规律，形成适合不同学段进行的以数形结合思想方法指导教学的教学策略。 

（三）帮助学生树立数形结合的观点，善于运用数形结合思想方法观察、分析、解决问题，提高学生分析问题、解决问题的能力。  

（四）培养学生的数学精神、思想与方法，发展抽象思维和形象思维能力及辨证思维能力，提高对数学的整体认识。

五、课题研究的主要内容

在课题研究的过程中，我们将认真学习查找关于“数形结合”的相关理论及名师的教学案例，并结合自己的教学实践，定期举行课题组专门会议进行研讨、交流。邀请学科专家进行专业引领和指导，不断完善课题的研究内容，明确研究方向，扎扎实实做好研究，最后对研究效果进行提升，形成课题成果报告。

（一） 如何提高学生的读题能力，让图形更好为理解数学知识提供帮助。

（二）如何在图形教学中建立数学概念，发展空间观念。

（三） 如何让学生主动自觉的利用数形思维来分析解决问题，将数形结合的思想内化成自己的需要。

（四）如何用数形结合的思想来培养学生的创新精神与实践能力。

六、课题研究的方法

（一）行动研究法：在充分调查和整理、分析文献的基础上展开课堂实践，边实验，边总结，将研究与实际课堂教学相结合。针对教育活动和教育实践中的问题，在行动研究中不断地探索、改进改进工作，解决教育实际问题。

（二）问卷调查法：在课题研究中，我们应定期对学生进行问卷调查，访问调查。确立调查目的，对象，问题。了解学生在学习有图形的问题时存在的困惑。及时收集数据，进行数据分析，写出调查分析，利用这些信息及时调整课题研究方案。

（三）文献法：分类阅读有关文献(包括文字、图形、符号、声频、视频等具有一定历史价值、理论价值和资料价值的材料)，得出一般性结论或者发现问题，寻找新的思路。

（四）案例分析法：及时对名师及身边的典型案例进行研究分析，进一步修正和完善“数形结合”思想在小学数学教学中应用。立争全面提高学生学习的兴趣,使学生爱学、乐学；充分调动学生的学习热情，大面积提高学生的学习成绩。

七、研究的主要过程

本课题研究从2017年9月开始至2019年7月结束，分三个阶段进行。

（一）准备阶段：（2017.9------2018.1 ）

确定研究内容，成立课题组，查阅文献，寻找已有的研究成果，利用整合，组织实验教师进行理论学习，制定课题研究方案，申请立项。   

搜集资料，制定课题研究方案，并加以论证。

研读相关书籍，做好理念与实践相结合的准备工作。

（二）实施阶段：（2018.2------2019.3）

课题组成员加强理论学习，并深入进行研究。

定期召开课题研讨活动，在研究中不断反思修正，及时调整研究方案，定期进行学习、交流。

积累素材，做好阶段性小结。

进行课堂实践与案例研究，收集资料，做好调查报告。

撰写研究案例及论文。  

（三）成果形成阶段 (2019.4------2019.7)

全面收集、整理与课题有关的材料。

对课题进行系统的总结，形成课题研究成果，撰写结题报告。

八、研究结果与及其分析

（一）“数形结合”的思想方法的主要内容并举例说明

数形结合思想：就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义又揭示其几何意义，使问题的数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想。

案例一：《两位数加两位数》教学片段（一年级下册64页）

两位数加两位数的算理就是“相同单位的数才能相加”，只有理解这一算理才能保证竖式计算的正确性。如果不理解这一算理，那么笔算“25+2”或“2+25”往往会出现“相同数位不对齐”的错误。只有建立正确、牢固而清晰的表象，才能支持抽象思维。教学时应根据这一理论进行教学。

1．摆小棒。先摆25根（2捆零5根），在25根下面再摆2根。一共多少根？提问学生：怎样摆的？要求一共多少根应该怎样计算？引导学生说出：先把5根和2根合在一起是7根，再把2捆和7根合在一起是27根。接着问：如果先摆2根，再摆25根，求一共多少根应怎样计算？这里运用“表象迁移”突出“根与根相加”。

2．先摆25根，再摆20根，一共多少根？让学生摆一摆，想一想，说一说。接着再问：如果先摆20根，再摆25根，求一共多少根，应怎样摆和算？突出“捆与捆相加”。

3．先摆25根，再摆12根，一共多少根？让学生摆一摆，想一想，说一说。

在操作的过程中，边操作，边列竖式，并将每一个步骤与算是相对应，让操作与算式相结合，为单调的竖式建立表象。

最后，让学生说一说，在摆小棒的过程中你发现了什么。通过以上“捆与捆、根与根分别相加”的学具操作，使学生在头脑中建立了“相同单位的数才能相加”的牢固而清晰的表象，从而为理解竖式计算时为什么要“相同数位对齐”奠定了牢固的感性认识基础。

（二）数学思想在教学中渗透的一般思路

在小学数学思想方法教学的方式上，大家都已经认同的教学方式是渗透，一些教师明确提出渗透是学生获得数学思想的重要途径，认为学生数学思想的获得，是义务教育阶段必须重视的一个重要内容。

我觉得课堂中要渗透数学思想方法，主要分以下几步：在钻研教材时挖掘，在教学目标中体现，在教学过程中渗透，在自主探索中掌握，在巩固练习中领悟，在归纳总结时提炼。

1、深入研究教材，挖掘数学思想方法

教材体系有两条基本线索：一条是数学知识,这是明线,另一条是数学思想方法,这是蕴含在教材中的暗线。因此教师必须深入钻研教材，充分挖掘有关数学思想方法，这就要求我教师要深入研究教材，善于发现其中隐含的数学思想方法，并进行互相联系和融合。

数量关系是数学所特有的研究对象，新课程标准明确提出“要从具体情境中抽象出数量关系”。在一些解决问题教学中，数量关系一直是小学数学教学的重点、难点，但因其数量关系多且繁，学生掌握起来十分困难。如果充分运用数形结合思想，巧妙运用线段图等恰当的图形直观地表示其数量关系，常能产生意想不到的效果。

如阳斌老师在执教五年级《相遇》一课中，将教学重点放在引导学生学会画线段图，在交流与展示的教学过程中不断构建与完善准确的线段图，然后在线段图中使得相遇问题的数量关系抽象于学生眼前，还原相遇问题的本质，从而化繁杂为简单，问题也就迎刃而解了。

面包车

小轿车

40千米/时

面包车行驶的路程

50千米

遗址公园

天桥

60千米/时

小轿车行驶的路程

 

 

 

 

 

借助线段图等图形分析数量关系，是数学学习的重要策略，可应用于如倍数问题、分数问题等。我们的研究中发现，课堂上教师不妨鼓励学生动手画一画，在适当的图形中让复杂问题简单化，抽象问题形象化，利于学生抽象出数量关系，建构基本的数学模型，有效提高解决问题的效率。

2、认真确定目标，体现数学思想方法  

挖掘出教材中隐含的数学思想后，就得认真确定教学目标，知识性、技能性目标要达到什么水平，每个数学知识所渗透的数学思想方法是什么，最终要让学生得到哪些方面的发展。

3、巧妙设计预案，渗透数学思想方法

认真设计教学目标后，巧妙设计预案，看看哪个环节渗透哪种数学思想方法，当渗透了该数学思想方法后，应再设计一些相似的练习，并通过一定数量的问题训练，使学生初步体会刚刚形成的数学思想方法。

4、不断巩固练习，领悟数学思想方法

数学思想方法的渗透不要急于求成，是一个循序渐进的过程，只有在不断的巩固练习中体会，在解决实际问题中领悟。此外还得加强学生的应用意识，鼓励学生运用数学思想方法去分析解决生活中的实际问题。

5、归纳总结反思，提炼数学思想方法

数学思想方法的获得，一方面是课中有意的渗透，另一方面是靠教师适当的总结，学生及时的反思领悟，教师要引导学生自觉地检查自己的思维活动，反思自己是怎样发现和解决问题的，运用了哪些基本的思想方法，只有这样对数学的理解才会由量的联系发展到质的飞跃。

（三）“数形结合”思想在教学中应用的作用

数学思想是数学学科中的一条暗线，掌握数学知识是一时的，但是数学思想的获得却能让学生终身受益。数形结合思想在教学中可以发挥以下作用：

1、学生的数学素养得到提升。

有学者认为，数学思想的渗透能提高学生数学能力，是形成良好思维品质的基础和桥梁。渗透数形结合思想，培养观察对比能力，孩子们在这样的学习中提高了能力，在各方面发展的都很好。

2、教师的数学素养和教学理念得到提升

经过课题的实施与研究，促进了教师观念的转变，加强了教师对教材的解读能力，对课堂教学的设计也有了自己的思考，开始主动的、深入的分析、研究教材，挖掘、提炼隐含在其中的数形结合的数学思想，并进行有目的、有计划、有步骤地精心设计，有效地渗透这一数学思想方法。提高了自己的科研能力，促使自己业务水平不断提高，专业不断成长。

教师借用大量“形”的材料去达到教学目的往往是最有效的。例如在数小棒中或搭多边形中认识整数，在等分图形中认识分或小数；利用交集图理解公因数与公倍数等等。例如在三年级《分一分（一）》一课中的认识分数，可借用多种图形材料去帮助学生认识分数，理解分数的意义。首先教师在创设情境中让学生创设符号来表示“一半”，有图形语言，有文字语言，有符号语言（学生已有认知：2/1和1/2），在对比与交流中不仅体会符号语言表示的优越性，同时也能借助图形语言去引导学生初步认识分数。

其次，揭示概念分数之后，引用历史材料等图形史实，展示各个不同年代分数的表示方法，让学生感受分数的产生、发展过程，更重要的依然是用充分的“形”去理解分数的意义。

中国古代算筹表示法  古埃及人表示法    阿拉伯人表示法

1 2

随着后来印度人发明了“—”，1/2就成为了我们现在所通用的表现形式了。

最后，设计了在数轴中去寻找分数的位置，除了巩固对分数意义的理解外，还可以帮助学生建构与完善知识体系，将分数与整数与小数的关系建立起整体表象。

3、数学课堂效率得到了提升

在上数学课前，能挖掘教材中所隐含的数形结合的数学思想方法，再通过一定的整合设计，在巩固知识与技能的同时，渗透这一数学思想方法，发展学生的数学思维能力，提升学生的学习和解决问题的能力，提升了课堂效率。

案例三：《笔算乘法》教学片段（三年级下册《两位数乘两位数》）探索笔算方法时，学生对于笔算过程如何书写感觉有点无从下手，而算法的形成不能依赖形式上的模仿，而要依靠算理的透彻理解。此环节，教师借助一个小小的教具，通过遮住第二个乘数的十位，勾起学生对于旧知的回忆，同时把新知识转化成旧知识进行教学。得到积是28后，追问：也就是点子图上哪一部分？当教具把第二个乘数的个位遮住时，学生基本上也能把接下来的计算过程，即：将9+几转换成10+几。练习巩固，此时，再出示几道类似的练习题，让学生先画、圈、说的方法进行训练，牢固掌握“9+几”的算法。

这样，学生掌握了“9+几”的算法，了解了凑十法的优点，理解李了算理，在后面学习其他进位加法时就会自认而然地进行类比迁移，从而发展学生的推理能力。从这个教学案例中不难看出：“数”“形”互化的过程，既是解题的过程，又是学生的形象思维和抽象思维协同运作、互相促进的过程。正因为抽象思维的训练有了形象思维做支持，从而使解法变得丰富而巧妙。

如果说生活经验是学生学习的基础，合作交流是学生学习的推动力，那么数形结合就是学生建构知识的一个拐杖，有了这根拐杖，学生才能走的更稳、更好。总之，在计算教学中充分运用数形结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，提高计算教学的效率。

九、课题研究结论

（一）本课题的研究对于教师而言，改变了教师对“数形结合”思想的态度，提高了教师的综合素质，丰富了其教学策略，提升课堂教学有效性。

在课题研究过程中，老师们积极的研究教学，钻研教参，通过网络等各种途径学习其他教师在这方面的成功经验。系统的梳理三到六年级所有的教学内容，明确数形结合在小学数学四大领域的渗透实践。组织开展了数形结合在教学中的应用实践研讨课活动。通过这些活动，广大教师的理论知识体系更加的丰富。能更好的将数形结合的思想融入课堂，渗透到学生的习惯养成当中。通过课题研究为后续的教学，提供了一手参考资料。

（二）本课题的研究对于学生的学习，不同阶段不同学习内容采用“数形结合”，能更好地帮助了学生学习数学知识，理解数学本质，提高解决问题能力，发展思维能力。

我们的学生从刚开始的不知道数形结合是什么，到现在针对一些典型的数学问题，好多同学能够主动的借助“形”或“数”去分析解决问题，高年级的学生已经基本养成了利用数形结合的思想方法去解决问题的习惯。学生学习数学的积极性有了很大的提高，对于一些枯燥复杂的数学问题，更有信心去挑战，形成了基本的数学素养，为后面继续探究翱翔数学世界打下了良好的基础。

通过这次系统的研究，教师获得了一次系统的学习机会，对数学教学中的一些思想方法有了更深的认识。学生的学习积极性有了很大的提高，表现在成绩上就是学生的成绩普遍的提高。对知识的理解更加透彻，对于数学课程标准提出的发展学生的发现和提出问题以及分析和解决问题的能力有了很大的提升。

十、课题研究反思

本课题的研究，到此告一段落，但是在这次的研究中，我也发现了一些问题。主要表现在以下几个方面：

一是由于学生的数学素质以及数学基础不同，有部分学生对于数形结合的思想方法还是理解不够，应用不够。对数形结合的研究还应该继续针对不同层次的学生探索出不同的方式方法，丰富数形结合的研究，让不同的人在数学上得到不同的发展。

二是我们在教学中研究属性结合的应用已经初见成效，也已经系统的研究整理出常见的以及部分特殊情况的数形结合的教学应用，但是这部分教学的研究永无止境，我们应该继续的研究探索出更多更丰富的方法案例，继续寻找更适合学生的教学思路方法，更好的为教学服务。

课题研究虽然结束了，但是我们对教学的研究还在行进的道路上，我们会继续深入的在教学中研究数形结合思想方法的应用，继续研究更多的数学的思想方法，将其渗透我们的教学过程中。让人人学有价值的数学，人人都能获得必须的数学，人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。

 

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准[S].北京师范大学出版社.2012

[2] 赵守鹏.数形结合思想在解题中的应用[J];新课程(教研版);2009年03期

[3]刘永刚.数形结合思想培养刍议[J];青海教育;2009年05期

[4] 罗华.浅谈数形结合思想在实际问题中的应用[J];新课程研究(下旬刊);2011年08期

[5] 郑立臣，李玉真. 数形结合思想的初探[J];才智;2008年18期