授课教师

吴泽民

授课对象

高一（3）

授课时间

2012.5.23

观察主题

高一新授课上教师如何指导学生小组交流、合作学习

研究目的

探究高一新授课中如何以数学交流的方式提高课堂效果

课堂实录

目标达成情况及改进建议

正弦定理

（一）结合实例，激发动机

    教师：展示情景图如图1，船从港口B航行到港口C，测得BC的距离为 ，船在港口C卸货后继续向港口A航行，由于船员的疏忽没有测得CA距离，如果船上有测角仪我们能否计算出A、B的距离？

学生：思考提出测量角A，C              （图1）                              

教师：若已知测得，             ，要计算A、B两地距离，你有办法解决吗？

    学生：思考交流，画一个三角形 ，使得 为 6cm， ，

 ，量得距离约为4.9cm，利用三角形相似性质可知AB约为490m。

老师：对，很好，在初中，我们学过相似三角形，也学过解直角三角形，大家还记得吗？

    师生：共同回忆解直角三角形，①直角三角形中，已知两边，可以求第三边及两个角。②直角三角形中，已知一边和一角，可以求另两边及第三个角。

。  教师：引导，是斜三角形，能否利用解直角三角形，精确计算AB呢？

    学生：思考，交流，得出过 作 于如图2，把分为两个直角三角形，解题过程，学生阐述，教师板书。

解：过 作 于

在 中，

，

在 中，

教师：表示对学生赞赏，那么刚才解决问题的过程中，若 ， ，能否用、 、 表示 呢？

教师：引导学生再观察刚才解题过程。

学生：发现 ，

教师：引导，在刚才的推理过程中，你能想到什么？你能发现什么？

学生：发现即然有 ，那么也有 ， 。

教师：引导 ， ， ，我们习惯写成对称形式 ， ，，因此我们可以发现 ，是否任意三角形都有这种边角关系呢？

（二）数学实验，验证猜想

教师：给学生指明一个方向，我们先通过特殊例子检验是否成立，举出特例。

（1）在△ABC中，∠A，∠B，∠C分别为 ，， ，对应的边长a：b：c为1：1：1，对应角的正弦值分别为 ， ， ，引导学生考察 ， ，的关系。（学生回答它们相等）

   （2）、在△ABC中，∠A，∠B，∠C分别为 ，， ，对应的边长a：b：c为1：1：，对应角的正弦值分别为 ， ，1；（学生回答它们相等）

   （3）、在△ABC中，∠A，∠B，∠C分别为 ，， ，对应的边长a：b：c为1：：2，对应角的正弦值分别为 ，，1。（学生回答它们相等）（图3）

                           （图3）

    教师：对于 呢？

则有 ， ，又 ,

则

从而在直角三角形ABC中，

   教师：那么任意三角形是否有呢？学生按事先安排分组，出示实验报告单，让学生阅读实验报告单，质疑提问：有什么不明白的地方或者有什么问题吗？（如果学生没有问题，教师让学生动手计算，附实验报告单。）

    学生：分组互动，每组画一个三角形，度量出三边和三个角度数值，通过实验数据计算，比较、 、 的近似值。

    教师：借助多媒体演示随着三角形任意变换，、 、 值仍然保持相等。

    我们猜想： = =

（三）证明猜想，得出定理

师生活动：

教师：我们虽然经历了数学实验，多媒体技术支持，对任意的三角形，如何用数学的思想方法证明呢？前面探索过程对我们有没有启发？学生分组讨论，每组派一个代表总结。（以下证明过程，根据学生回答情况进行叙述）

    学生：思考得出

①在中，成立，如前面检验。

②在锐角三角形中，如图5设 ， ，

作： ，垂足为

在 中，

同理，在 中，             

③在钝角三角形中，如图6设 为钝角， ， ，

作 交 的延长线于

    在 中，

    同锐角三角形证明可知

    教师：我们把这条性质称为正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

还有其它证明方法吗？

学生：思考得出，分析图形（图7），对于任意△ABC，由初中所学过的面积公式可以得出： ，

而由图中可以看出： ， ，

=

=

等式 中均除以 后可得 ，

即 。

教师边分析边引导学生，同时板书证明过程。

在刚才的证明过程中大家是否发现三角形高 ，三角形的面积：，能否得到新面积公式

学生：

得到三角形面积公式

    教师：大家还有其他的证明方法吗？比如：、 、 都等于同一个比值 ，那么它们也相等，这个 到底有没有什么特殊几何意义呢？

证明：连续 并延长交圆于

，    

在 中，

即

同理可证： ，

    教师：从刚才的证明过程中,，显示正弦定理的比值等于三角形外接圆的直径，我们通过“作高法”、“等积法”、“外接圆法”等平面几何方法证明正弦定理，能否利用其他知识来证明正弦定理？比如，在向量中，我也学过，这与边的长度和三角函数值有较为密切的联系，是否能够利用向量积来证明正弦定理呢？

学生：思考（联系作高的思想）得出：

    在锐角三角形 中， ，作单位向量 垂直于，

    即

    同理：

    对于钝角三角形，直角三角形的情况作简单交代。

    教师：由于时间有限，对正弦定理的证明到此为止，有兴趣的同学回家再探索。

（四）利用定理，解决引例

师生活动：

教师：现在大家再用正弦定理解决引例中提出的问题。

学生：马上得出

    在 中，

（五）了解解三角形概念

教师：一般地，把三角形的三个角 、 、 和它们的对边 、 、叫做三角形的元素，已知，三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做解三角形。

（六）运用定理，解决例题

师生活动：

教师：引导学生从分析方程思想分析正弦定理可以解决的问题。

    学生：讨论正弦定理可以解决的问题类型：

       ①如果已知三角形的任意两个角与一边，求三角形的另一角和另两边，如；

       ②如果已知三角形任意两边与其中一边的对角，求另一边与另两角，如。

    例1：在 中，已知 ， ， ，解三角形。

分析“已知三角形中两角及一边，求其他元素”，第一步可由三角形内角和为求出第三个角∠C，再由正弦定理求其他两边。

    例2：在 中，已知 ， ， ，解三角形。

    学生：反馈练习（教科书第5页的练习）

    用实物投影仪展示学生中解题步骤规范的解答。

（七）尝试小结：

教师：提示引导学生总结本节课的主要内容。

学生：思考交流，归纳总结。

师生：让学生尝试小结，教师及时补充，要体现：

（1）正弦定理的内容（ ）及其证明思想方法。

（2）正弦定理的应用范围：①已知三角形中两角及一边，求其他元素；②已知三角形中两边和其中一边所对的角，求其他元素。

（3）分类讨论的数学思想。

（八）作业设计

作业：第10页[习题1.1]A组第1、2题。

思考题：例2：在 中，已知 ， ， ，解三角形。例2中 分别改为 ，并解三角形，观察解的情况并解释出现一解，两解，无解的原因。

课外链接：课后通过查阅相关书籍，上网搜索，了解关于正弦定理的发展及应用

学生独立思考后，提出猜测，师生交流

通过师生的交流，教师抛出更深层次的问题，激发学生思维，同桌交流

学生独立思考，师生交流，让学生主动发挥学习的主动性和积极性。教师的问题引导性很好，层层深入，师生交流热烈！

这个设计非常好！通过从学生日常生活中的实际问题引入，激发学生思维，激发学生的求知欲，引导学生转化为解直角三角形的问题，在解决问题后，对特殊问题一般化，得出一个猜测性的结论——猜想，培养学生从特殊到一般思想意识，培养学生创造性思维能力。

学生先自己独立思考，几位同学上黑板板演，其余同学可以小组讨论，有问题和老师进行交流，明确题目的解决方法，充分发挥师生交流、生生交流的功效。好！

学生质疑，抛弃了教师问—学生答的传统套路，教师始终是一个引路人，主要采用学生问—学生答的生生交流方式，气氛活跃，充分调动学生学习的主动性。

有了前面特殊情况的铺垫，下面证明一般情况就顺手多了，师生交流达到高潮！

例2的处理，目的是让学生掌握分类讨论的数学思想，可先让中等学生讲解解题思路，其他同学补充交流。

生生交流，凝聚课堂学习精华！

总评及建议

本节定理教学课，教师把重点放在定理的发现与证明上，符合新课标重视过程与方法的理念，克服了传统教学只注重结论的倾向。首先，利用解决一个可测量两角一对边，求另一对边的实际问题引入，在解决实际问题中，引导学生发现“三角形三边与其对应角的正弦值的比相等”的规律；通过对特殊三角形的验证，大胆猜想对任意三角形成立；接着证明了这个定理。在课堂上展示了定理的发现过程，使学生感受到创新的快乐，激发学生学习数学的兴趣，同时让学生体验了“观察—实验—归纳—猜想—证明”的数学思想方法，经历了知识形成的过程，符合新课标重视过程与方法的理念。其次，在解决引例中的测量问题时利用用初中相似三角形知识、正弦定理的不同证法（转化为直角三角形、辅助以三角形外接圆、向量）等，都体现了 “在已有知识体系的基础上去建构新的知识体系”的理念，加强了知识间的联系，培养了学生思维的灵活性。定理证明的方法一、方法二，参透了分类、转化的数学思想。但是，本节课的教学内容还是偏多，在时间分配上要有规划，突出重点，删繁就简；引入的例题要注意条件更加明确直接，以免产生歧义，冲淡主体，浪费时间。

总之，本节课有效地采用了探究式教学，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境，以“正弦定理的发现和证明”为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，感受“观察——实验——猜想——证明——应用”等环节，教学过程流畅，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。

时间

2012.5.23

地点

图书馆

主持人

程春

主题

吴泽民《正弦定理》

研讨过程：

程春：先由吴泽民老师说一下本课的设想和上完课后的反思。

吴泽民：本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书·数学必修5》（人教A版）第一章，正弦定理第一课时，是在高二学生学习了三角等知识之后，显然是对三角知识的应用；同时，作为三角形中的一个定理，也是对初中解直角三角形内容的直接延伸，因而定理本身的应用又十分广泛。

根据实际教学处理，正弦定理这部分内容共分为三个层次：第一层次教师通过引导学生对实际问题的探索，并大胆提出猜想；第二层次由猜想入手，带着疑问，以及特殊三角形中边角的关系的验证，通过“作高法”、“等积法”、“外接圆法”、“ 向量法”等多种方法证明正弦定理，验证猜想的正确性，并得到三角形面积公式；第三层次利用正弦定理解决引例，最后进行简单的应用。学生通过对任意三角形中正弦定理的探索、发现和证明，感受“观察——实验——猜想——证明——应用”这一思维方法，养成大胆猜想、善于思考的品质和勇于求真的精神。

程春：其他老师说说自己的感受？可以是针对这堂课，也可以是针对吴老师的反思，但必须围绕如何培养学生数学交流能力这一主题展开讨论。

时红：我认为吴泽民老师这节课对于学生的解题能力和数学交流能力是有帮助的。本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境，以“正弦定理的发现和证明”为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。

耿亚媛：本课教学内容明确，教学思路非常清晰，以学生暴露出的问题为教学内容，由浅入深地让学生自己体会并解决自己原有的问题。这堂课上的数学交流主要是教师和学生之间的交流，也是学生和学生之间的交流。这充分地调动了学生的积极性，这是一堂活泼而灵动的课堂。

程春：本节课应该充分体现了师生之间的数学交流再提高课堂效果的显著作用。教师引导，学生主导，师生交流流畅，最后一个环节生生交流气氛也很热烈，有效的提高了学生的数学交流能力。另一方面，从我们的课题方面来说，我们是研究的高中生数学交流能力的培养，侧重点在于通过学生在课堂上的各种表现来评价学生的数学交流能力，无论是回答老师的问题，还是和其他小组争论问题的结论，我们都认为，这些既是学生和老师之间的数学的交流，也是是学生和学生之间的数学交流，更是一种通过数学交流促进学生数学素养提高的好方法。

最后我想说的是，我们的课题研究还在继续进行，希望各位课题组成员在平时的课堂教学中多反思，多收集资料。从而提高我们的理论水平和教学水平。

研讨总结

本节定理教学课，教师把重点放在定理的发现与证明上，符合新课标重视过程与方法的理念，克服了传统教学只注重结论的倾向。首先，利用解决一个可测量两角一对边，求另一对边的实际问题引入，在解决实际问题中，引导学生发现“三角形三边与其对应角的正弦值的比相等”的规律；通过对特殊三角形的验证，大胆猜想对任意三角形成立；接着证明了这个定理。在课堂上展示了定理的发现过程，使学生感受到创新的快乐，激发学生学习数学的兴趣，同时让学生体验了“观察—实验—归纳—猜想—证明”的数学思想方法，经历了知识形成的过程，符合新课标重视过程与方法的理念。其次，在解决引例中的测量问题时利用用初中相似三角形知识、正弦定理的不同证法（转化为直角三角形、辅助以三角形外接圆、向量）等，都体现了 “在已有知识体系的基础上去建构新的知识体系”的理念，加强了知识间的联系，培养了学生思维的灵活性。定理证明的方法一、方法二，参透了分类 、转化的数学思想。但是，本节课的教学内容还是偏多，在时间分配上要有规划，突出重点，删繁就简；引入的例题要注意条件更加明确直接，以免产生歧义，冲淡主体，浪费时间。

总之，本节课有效地采用了探究式教学，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境，以“正弦定理的发现和证明”为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，感受“观察——实验——猜想——证明——应用”等环节，教学过程流畅，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。