§3.4    基本不等式：   

第1课时

一、教学目标

1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；

2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；

3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣

二、教学重点

应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式 的证明过程；

三、教学难点

基本不等式 等号成立条件

四、教学过程

1.创境导入（多媒体大屏幕展示图片）

如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？

教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。

2.讲授新课

1）探究图形中的不等关系

将图中的“风车”抽象成图，在正方形ABCD中四个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为 。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为 。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式： 。

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有 。

2)得到结论：一般的，如果

3）．思考证明：你能给出它的证明吗？

证明：因为

当

所以， ，即

4）①从几何图形的面积关系认识基本不等式

特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b ，可得 ，

通常我们把上式写作：

 ②从不等式的性质推导基本不等式

用分析法证明：要证  (1)

只要证 a+b         (2)

要证（2），只要证 a+b-       0 （3）

要证（3），只要证（    -    ） （4）

 显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。

  3）理解基本不等式 的几何意义

探究：课本第110页的“探究”

在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式 的几何解释吗？

易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD²＝ＣA·ＣB

即ＣD＝ .

这个圆的半径为 ，显然，它大于或等于CD，即 ，其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立.

因此：基本不等式 几何意义是“半径不小于半弦”

评述：1.如果把 看作是正数a、b的等差中项， 看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.

2.在数学中，我们称 为a、b的算术平均数，称 为a、b的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

[补充例题]

例1  已知x、y都是正数，求证：

(1) ≥2；(2)（x＋y）（x²＋y²）（x³＋y³）≥８x³y³.

分析：在运用定理： 时，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形.

解：∵x，y都是正数  ∴ ＞0， ＞0，x²＞0，

y²＞0，x³＞0，y³＞0

(1) ＝2即 ≥2.

(2)x＋y≥2 ＞0      x²＋y²≥2 ＞0       

  x³＋y³≥2 ＞0

∴（x＋y）（x²＋y²）（x³＋y³）≥2 ·2 ·2 ＝８x³y³

即（x＋y）（x²＋y²）（x³＋y³）≥８x³y³.

3.随堂练习

1.已知a、b、c都是正数，求证（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc

分析：对于此类题目，选择定理： （a＞0，b＞0）灵活变形，可求得结果.

解：∵a，b，c都是正数

∴a＋b≥2 ＞0   b＋c≥2 ＞0   c＋a≥2 ＞0

∴（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥2 ·2 ·2 ＝８abc

即（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc.

4.课堂小结

本节课，我们学习了重要不等式a²＋b²≥2ab；两正数a、b的算术平均数（ ），几何平均数（ ）及它们的关系（ ≥ ）.它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.

第2课时

一、教学目标

1．知识与技能：进一步掌握基本不等式 ；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题

2．过程与方法：通过两个例题的研究，进一步掌握基本不等式 ，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。

3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。

二、教学重点

基本不等式 的应用

三、教学难点

利用基本不等式 求最大值、最小值。

四、教学过程

1.课题导入

1）重要不等式：

如果

2）基本不等式：如果a,b是正数，那么

3）我们称 的算术平均数，称 的几何平均数.

成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是正数。

2.讲授新课

例1（1）用篱笆围成一个面积为100m 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？

（2）段长为36 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?

解：（1）设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则xy=100，篱笆的长为2（x+y） m。由 ，可得    ，   。等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.

因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.

（2）解法一：设矩形菜园的宽为x　m，则长为（36－2x）m，其中0＜x＜ ，其面积S＝x（36－2x）＝ ·2x（36－2x）≤

当且仅当2x＝36－2x，即x＝9时菜园面积最大，即菜园长9m，宽为9 m时菜园面积最大为81 m²

解法二：设矩形菜园的长为x m.,宽为y m ,则2(x+y)=36,  x+y=18,矩形菜园的面积为xy  m 。由 ，可得   

当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立。

因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积是81m

归纳：1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b∈R^＋，且a＋b＝M，M为定值，则ab≤ ，等号当且仅当a＝b时成立.

2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，b∈R^＋，且ab＝P，P为定值，则a＋b≥2 ，等号当且仅当a＝b时成立.

例2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m³,深为3m，如果池底每1m²的造价为150元，池壁每1m²的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？

分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。

解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得

 

 

当

因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元

评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件。

归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：

(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；

(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；

(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；

(4)正确写出答案.

3.随堂练习

已知x≠0，当x取什么值时，x²＋ 的值最小?最小值是多少?

4.课时小结

本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题。在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值 即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。

第3课时

一．教学目标

1．知识与技能：进一步掌握基本不等式 ；会用此不等式证明不等式,会应用此不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题；

2．过程与方法：通过例题的研究，进一步掌握基本不等式 ，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。

3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。

二、教学重点

掌握基本不等式 ，会用此不等式证明不等式，会用此不等式求某些函数的最值

三、教学难点

利用此不等式求函数的最大、最小值。

四、教学过程

1.课题导入

1）基本不等式：如果a,b是正数，那么

2）用基本不等式 求最大（小）值的步骤。

2.讲授新课

1）利用基本不等式证明不等式

例1  已知m>0,求证 。

[思维切入]因为m>0,所以可把 和 分别看作基本不等式中的a和b, 直接利用基本不等式。

[证明]因为  m>0,由基本不等式得

当且仅当 = ，即m=2时，取等号。

技巧总结  注意：m>0这一前提条件和 =144为定值的前提条件。

3.随堂练习1

[思维拓展1]  已知a,b,c,d都是正数，求证 .

[思维拓展2]  求证 .

例2  求证: .

[思维切入]  由于不等式左边含有字母a,右边无字母,直接使用基本不等式,无法约掉字母a,而左边 .这样变形后,在用基本不等式即可得证.

[证明] 

当且仅当 =a-3即a=5时,等号成立.

技巧总结  通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式.

2)利用不等式求最值

例3 (1) 若x>0,求 的最小值;

     (2)若x<0,求 的最大值.

[思维切入]本题(1)x>0和 =36两个前提条件;(2)中x<0,可以用-x>0来转化.

解1)  因为 x>0 由基本不等式得

,当且仅当 即x= 时, 取最小值12.

(2)因为   x<0,  所以  -x>0, 由基本不等式得:

,

所以 ，当且仅当 即x=- 时, 取得最大-12.

技巧总结  利用基本不等式求最值时,个项必须为正数,若为负数,则添负号变正.

随堂练习2

[思维拓展1]  求 (x>5)的最小值.

[思维拓展2]  若x>0,y>0,且 ,求xy的最小值.

4.课时小结

用基本不等式 证明不等式和求函数的最大、最小值。

课时小结

利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状。特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用。

课后作业