走进“图形与几何”

——如何理解点、线、面、体、角

实验小学  肖云云

小学数学教学中涉及的点、线、面、体、角都是平直的，是基于欧几里得几何的。这些概念是所有所教育者最早接触到的几何概念，这些概念的特点是：看得见、说不清。事实上，越是基础的概念就越难说清楚，这是因为在描述的过程中无法借用其他的概念，而小学数学中所涉及的概念基本如此，这就给小学的数学教学带来了难度。

点、线、面、体、角是从立体图形中抽象出来的概念

在日常生活中，人们看到的物体都是立体的，因此，所谓的点、线、面、体、角是从立体图形中抽象出来的概念。这种抽象不仅舍去了物体的颜色、构成材料等物体的本质要素，还忽略了所占空间：点不分大小，线不分宽窄，面不分薄厚。因此，这些抽象了的概念只是一种理念上的存在。

因为这些概念源于立体图形，因此小学数学“图形与几何”内容的教学应当首先认识立体图形。为了把握立体图形的特征，可以引导学生对立体图形进行分类，在分类的过程中发现共性和差异。在熟悉了各种立体图形的基础上，在一些特殊的立体图形中抽象出点、线、面的概念。 

在教学过程中应当注意的是，这些概念涉及的线都是直的，涉及的面都是平的，这是欧几里得几何最显著的特征。为了使这部分的教学更加生动，可以把几何概念的理解与计数有机结合起来。

如何用描述的方法给出几何概念

在小学阶段数学教学中，关于点、线、面这些概念只能给出描述性定义。比如，关于线段的概念，只能先画出一条线段，然后定义：称这样的图形为线段。在所有描述性定义的教学中，阐述图形的性质格外重要，比如，在给出描述性定义之后需要进一步叙述：线段有两个端点。线段的一边无限延长则称为射线，射线有一个端点；线段的两边无限延长则称为直线，直线没有端点。虽然这里所说的线段是直线段，在教学过程中不能过分强调“直”，因为“直”这个概念很难表述清楚；但又应当让学生感悟“直”，因为通过这样的感悟可以得到直线段的一个根本性质：两点间的所有连线中直线段最短，这就为未来学习“距离”构建了直观。

角是一个很难描述清楚、很难理解的概念。在现行的数学教材中，都是用“具有公共端点的两条射线组成的图形”来定义角，这样的定义非常模糊：角是指图形中是什么？是指射线之间的面积吗？此外，这样的定义要求角的边的长度是无限的，与现实世界不符，比如三角形中的角。

在义务教育阶段特别是小学教育阶段，关于角还是应当给出描述性定义。比如，可以利用下图中的（a）给出角的描述性定义：

图（a）所示的图形称为角。角由两条线段所夹部分组成，这两条线段的一个端点重合。称这两条线段为角的边，角的大小与边长无关。

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在上面的描述性定义中，“角的大小与边长无关”这句话是本质的，因为这句话既包括了射线的情况，又利于对角的理解。在这句话的基础上，为了更好地理解角，教师应当引导学生进一步思考这样的问题：如果角的大小与边长无关，那么角的大小是由什么决定的呢？或者，提出更加具体的问题：应当如何比较角的大小呢？

显然，可以用图（b）来解释角的大小：因为∠2包括∠1，因此可以说∠2大于∠1。在比较大小的过程中，可以让学生加深理解描述性定义所说的“角由两条线段所夹的部分组成”的含义。因为图（c）的解释与图（b）的解释是一致的，因此可以用图（c）来进一步定义角的大小：是由这个角所对应的单位圆的弧长决定的。其中，之所以用“单位圆”是为了统一度量标准，有利于统一比较角的大小；而所谓单位圆半径的大小是人为确定的。由此可以看到，角的大小与两点间的直线距离有关，这样，问题又回归到欧几里得几何的本质，而三角形的内角和180°也与此有关。

有这样一副对联：点线面体勾勒大千世界，加减乘除演绎无限苍芎。这副对联的上下联包罗了数学中“数与代数”“图形与几何”两大领域的所学知识。而如何教好“点线面体”“加减乘除”是我们永远都完成不了的命题！跟着史宁中教授的脚步，理解数学的内涵，提高我们的数学素养！