加载中…走进“数的认识”——自然数
(2017-10-05 21:31:20) | 分类： 云云和你一起读 |
走进“数的认识”
——自然数
实验小学
如何认识自然数？
数是对数量的抽象，数的关系是对数量关系的抽象。
为了更好地研究现实世界中量的关系，就必须对数量进行更一般的抽象。抽象的结果就是自然数。自然数是对数量及数量关系的抽象。
今天我们就通过三种方法认识自然数。
一、对应的方法
基于对应的抽象过程大概是这样的：首先利用图形对应表示事物数量的多少，然后再对图形的多少进行命名，最后把命名了的东西符号化。比如，采用以下的对应方法：
□□
在汉语中，分别称其为“二”和“三”。其中，小方块表示任何元素，既可以表示小石头，也可以表示苹果或橘子；符号“
因为上面的表达具有一般性，因此可以把表达式⑴成为模式，其中小方块就是沟通数量与数字之间对应关系的桥梁。之所以称这样的表达为模式，是因为这样的表达具有一般性，我们把能够认识或者解决一类数学问题的方法称为模式。
可以看出，这种基于实际背景认识自然数的方法是直接的、也是深刻的，因此，我国现行小学数学教材普遍采用的就是这样的写法，在教学过程中普遍采用的也是这样的数学方法。进一步，因为数量的“多与少”对应于数的“大与小”，所以从⑴的对应法则可以让学生知道：3>2，并且让学生理解这样的数学表达。
一般来说，需要从两个角度来把握这种抽象：在形式上，自然数去掉了数量后面的后缀名词；在实质上，自然数去掉了数量所依赖的实际背景。自然数的抽象深刻地表明，数学不是研究某一个有具体背景的东西，数学研究的是一般的规律性的东西。
二、定义的方法
数的定义紧密地依赖于数的关系，即大小关系。通过大小关系定义自然数的方法利用了“后继”的概念。比如，先有1；继1的后续为2，2比1大1，表示为2=1+1；称2的后继为3，3比2大1，表示为3=2+1；等等。通过这样的后继关系，人们就得到了所有的自然数。最初规定自然数是从1开始的，后来为了更一般的表示，又规定自然数从0开始。
可以看到，通过定义认识自然数的方法完全排除了现实背景，这样的方法过于抽象，不适于第一学段（1-3年级）的数学教学。但是，作为数学老师应当知道这样的方法，并且要理解其中的逻辑关系，因为数学教师的严谨性是从数的定义开始的。
三、公理体系定义的自然数
随着数学研究的深入，特别是在用极限理论解释微积分的过程中，人们逐渐认识到必须严格定义什么是实数。而要严格定义实数就必须严格定义有理数，追根溯源，就需要严格定义什么是自然数。严格定义的基础就是公理化，因此用公理化体系定义自然数势在必行。
在现在数学中，人们普遍采用皮亚诺算术公理体系来定义自然数，这个公理体系是意大利数学家皮亚诺（GiuseppePeano，1858-1932）在1889年发表的文章《用一种新方法陈述的算术原理》中提出的。皮亚诺算术公理体系的基本思路是利用“直接后续”的概念，也就是说，从1 开始通过“直接后续”产生1以后的所有自然数。所谓“直接后续”就是在已经定义了自然数后面再加上1，得到后续自然数，具体形成过程如下：
2=1+1，3=2+1，4=3+1，…
直到无穷多个自然数。可以看出，所谓“直接后续”的方法符合人们认识数的常理，抓住了数的本质规律：数是一个一个大起来的。
后来，皮亚诺又把自然数改为从0开始。这是因为，如果自然数不从0开始，那么0将不是任何自然数的后续，因此通过上述公理的方法就产生不了0；进一步，没有0就不能通过加法定义相反数，于是就产生不了负数，这样，自然数集合就得不到扩充。
基于皮亚诺算数公理体系，人们就清晰地定义了自然数，进而就可以通过四则运算、主要是减法和除法这两种逆运算，把自然数扩充到整数、有理数，最后通过极限运算扩充到实数。这样，人们就严格地定义了实数，为微积分理论的确立奠定了坚实的基础。
同时也应该看到，用这样的方法定义自然数完全排斥了现实背景，因此，在小学阶段的数学中引入这样的内容是不合适的。但作为一名数学教师，知道这些内容还是必要的，因为知道了这些内容可以更加理性地认识自然数，从而更好地把握课堂教学。
亲们，今天你可能觉得读起来，这样的生涩、无趣。但是，我们还是需要耐心，正如史宁中教授说的“作为一名数学教师，知道这些内容还是必要的，因为知道了这些内容可以更加理性地认识自然数，从而更好地把握课堂教学。”
让我们继续学习，学习，再学习，不断地充实自己，成为一名合格的数学教师。（越读这本书，我越不敢说要成为一名优秀的数学教师。亲们，你有这种感觉吗?）
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