等比数列（幂级数）的意义和应用

幂级数在理工科分析中有重要意义，其中最重要的即所谓的泰勒级数。但这里讨论其中最简单的幂级数，也就是所谓的“无穷等比数列”。

http://s16/bmiddle/5701b67chb4c577fd571f&690                      (1)

对上式的讨论不失一般性。

对于无穷级数，自然首先要讨论的是它的收敛性，而式(1)即是我们熟知的等比数列，只是现在该数列有无穷多项，有限等比数列有求和公式：

http://s8/bmiddle/5701b67chb4c57a59fb67&690                            (2)

证明上式需要用到数学归纳法

http://s11/bmiddle/5701b67chb4c57b7346ea&690

…

∴设http://s9/bmiddle/5701b67chb4c57c5e2bc8&690

则http://s8/bmiddle/5701b67cgb58d1e4b33d7&690

http://s11/bmiddle/5701b67chb4c5816f3a2a&690

得证

显然(2)式的收敛域为：(-1,1)，那么在该收敛域内有和函数

http://s3/bmiddle/5701b67ch787a26aef4e2&690

于是有下面两个重要的级数展开

级数1：

http://s2/bmiddle/5701b67chb4c584440361&690               (3)

其证明如下：

∵http://s13/bmiddle/5701b67chb4c584d51bfc&690

对两边进行积分

http://s5/bmiddle/5701b67chb4c587330024&690             

上式中，因为x=0时，左边等于0，所以C=0。进而

http://s12/bmiddle/5701b67chb4c58899c94b&690              

注意(3)式的收敛域，因为把x=1代入时，根据莱布尼茨辨别法，上式右边的级数是收敛的。

得证

级数2：

http://s2/bmiddle/5701b67chb4c58f8603d1&690          (4)

其证明如下：

∵http://s8/bmiddle/5701b67chb4c59103d997&690

同样对两边积分

http://s6/bmiddle/5701b67chb4c591bae755&690

同样因为x=0时，arctan(0)=0，所以C=0。因此

http://s2/bmiddle/5701b67chb4c592c341e1&690

同样把x=±1代入上式右端时，根据莱布尼茨辨别法是收敛的。

得证

这个简单的级数在实际问题中的应用主要是x<<1时，级数可以略去高阶小项，如

http://s9/bmiddle/5701b67chb4c596dcbbf8&690

下面举两个实际例子。

例1：

因为MOS管沟道夹断时漏电流公式为

http://s10/bmiddle/5701b67chb4c597e0dc39&690                         (5)

此时继续增大漏源电压VDS，就会引起所谓的“沟道长度调制效应”，既有

L'=L-ΔL，这时上面的公式中的L就要被L'取代，但是由于不知道ΔL具体是多少，所以直接代入意义不大。当认为ΔL<<L，则有

http://s10/bmiddle/5701b67chb4c5a6765f49&690

代入(5)式，有

http://s5/bmiddle/5701b67chb4c5a7f07e54&690

这里ID0是沟道刚夹断时的漏电流。而λ是一个与工艺有关的参数，那么ΔL/L≈λVDS有什么依据？如下图

http://s15/bmiddle/5701b67chb4c5a8fddffe&690

图1 沟道长度调制效应

当认为VDS1>>VGS-VTH时（图1实际上对VGS-VTH有所夸张），则ΔIDS=IDS1-IDS0与VDS1近似成线性关系，因此当通过实测或仿真得到MOS晶体管的输出特性曲线后可以据曲线近似得到λ的值。

例2：

爱因斯坦的狭义相对论理论中，有著名的质能方程E=mc2，而牛顿理论有动能方程E=(1/2)mv2。由于低速情况下，牛顿理论已经获得巨大的成功。因此新的理论不能否定牛顿理论在低速情况下的正确性，所以当v<<c时，质能方程要与牛顿理论相融洽。

当然质能方程中的质量是动质量，根据相对论有

http://s10/bmiddle/5701b67chb4c5aa054889&690         (6)

可见当物体低速运动时，能量有两部分：一部分为以静质量形式存在的“固有能量”，另一部分是动能，这部分退化为牛顿动能理论的形式。m0是物体的静质量。上面β=v/c，而在忽略高阶小项时之所以把β4拆开，而忽略(3/4)β4之后的部分在于这样容易开根号，当然还可以任意得选择忽略高阶小项，最后还是得到相同结果，或者干脆只留下m0c2。因为从上面的结果可以看出，速度远小于光速时动能相比与固有能是很小的，但这不是我们讨论的目的。