电磁波与趋肤效应

 

I.波动方程

 

上一篇文章里提到了一维波动方程，也根据麦克斯韦方程推得了电磁场的三维波动方程，揭示了电磁波的存在。

http://s14/bmiddle/5701b67cgad97d41f8c2d&690                              (1)

而傅里叶级数告诉我们：复杂的振动可以看作是简谐振动之和。因此研究电磁波的简谐运动具有代表性，但这里要把振动和波结合到一起，即为简谐波的波动方程。

http://s14/bmiddle/5701b67cgad97f8c4bb6d&690                            

上式括号中的加减号分别表示波沿x轴的负方向和正方向传播，利用欧拉公式可以把上式写成复数形式，λ是波长，A是振幅，为一常数，φ是初相。当然写成复数形式后两者不再相等，但是可以认为是等价的。即

http://s8/bmiddle/5701b67cgad97fa214bf7&690                 (2)

令x=0时，上式就是某个质点振动的函数；令t=0时，上式是波在空间各点的振动情况。显然式(2)是式(1)的一个解。把(2)式代入(1)式有

http://s12/bmiddle/5701b67cgad97fdd522db&690                          

于是可知a=1/v，而上文讲过，时变电磁场在无源空间，即ρ=0，J=0处满足三维波动方程，即

http://s5/bmiddle/5701b67cgad98007e2ed4&690                          (3)

http://s13/bmiddle/5701b67cgad98010de06c&690                         (4)

于是可以知道

http://s4/bmiddle/5701b67cgad98019e6973&690                                 

便是电磁波传播的速度。真空中的介电常数和磁导率分别近似为ε0=1/36π×10-9F/m，μ0=4π×10-7H/m，所以真空中的光速为

http://s7/bmiddle/5701b67cgad9802614df6&690                        

事实上只要比较式(1)两端的单位，或者(3)式、(4)式的单位就可见端倪。例如(3)式，电场的单位为V/m，关于位移求两次偏微商后▽2E的单位是V/m3，关于时间求两次偏微商后∂2H/∂t2的单位是V/m·s2，为了使等式成立，με具有s2/m2的单位。在各种介质中，με往往不是与位置无关的常数，所以约定下面的讨论均假定介质为各向同性、均匀、线性的理想介质。

满足式(3)和式(4)的波振的表达式为

http://s1/bmiddle/5701b67cgad9802ec3ff0&690             (5)

http://s16/bmiddle/5701b67cgad98037cfc3f&690            (6)

上两式假设了初相为0，不影响讨论的一般性，得到复数形式的麦克斯韦方程。

http://s16/bmiddle/5701b67cgad98040fb3cf&690                      (7)

http://s2/bmiddle/5701b67cgad9804a9eb21&690                    (8)

学习电磁场和电磁波课程时，结合已学过的电路分析的知识来理解麦克斯韦方程很有好处。但是对于(8)式，中间的那个形式很多初学者可能会认为电流相加类似于RC并联，那么串联呢？实际上跟串并联没有关系，(8)式的右端告诉我们实际上是实数与虚数相加（位移电流比传导电流相位超前90度，当然这不意味着位移电流和传导电流空间上正交，注意区分）。也正是由于(8)式右端是一个既非纯实数也非纯虚数的复数，导致了良导体的趋肤效应。

在无源空间中，即ρ=0，J=0。对(7)式和(8)式两端取旋度得

http://s8/bmiddle/5701b67cgad9805ac7687&690                

http://s7/bmiddle/5701b67cgad98065d0b56&690                 

整理上两式后得

http://s15/bmiddle/5701b67cgad9806d97c9e&690                       (9)  

http://s5/bmiddle/5701b67cgad9807a06184&690                     (10)  

这两式称为电磁场的亥姆霍兹方程。这两个方程现在只与空间有关，而与时间无关。三维波动的数学形式是很复杂的，为了简化分析我们来讨论所谓的均匀平面波，均匀平面波也是一种理想化模型。

 

II.平面波

 

均匀平面波是这样的波：

①电场和磁场只有沿x轴和y轴方向的分量，没有沿z轴方向的分量；

②任意时刻坡印廷矢量S=E×H指向z轴正方向的，即电磁波向z轴正方向传播，为入射波。反之为反射波；

③任意作一个垂直于z轴的截平面，截平面上处处电场强度相等，磁场强度相等。

由第一条以及divD=0和divH=0的条件，得

http://s6/bmiddle/5701b67cgad980834d545&690                              

                                 

根据第三个条件知，平面波在无源空间中

http://s8/bmiddle/5701b67cgad9809325f97&690                       

注意前面对标量（z方向上的分量）求微商，后面是对矢量求微商。这样的电磁波称为

电磁波（TEM波）。这样就得到以下四个亥姆霍兹方程：

http://s8/bmiddle/5701b67cgad980a269997&690                       (11)

http://s7/bmiddle/5701b67cgad980aaea6f6&690                       (12)

http://s1/bmiddle/5701b67cgad980b393dd0&690                      (13)

http://s5/bmiddle/5701b67cgad980c2df8b4&690                      (14)

假设平面波是线极化波（极化波的概念以后在讲），那么就是一维的波动，调整坐标后使电场只有x轴方向上的分量，即Ey=0，E=iEx（这里小写黑体的i表示x轴方向上的单位向量，j和k也类似，注意和虚数单位j区分）。式(11)的特征方程为：

http://s7/bmiddle/5701b67cgad980cf415e6&690                            

解得

http://s10/bmiddle/5701b67cg77c267bfb899&690                            

微分方程有解

http://s8/bmiddle/5701b67cgad980e604427&690   (15)

这里

http://s3/bmiddle/5701b67cgad980f120312&690                       

其中ϕi为初相，Eim为电场的振幅。这里可以看到电场的振幅是恒定的，即没有衰减。上式等号右边的第一项是沿+z方向传播的

讨论下k的物理意义，前面说过sqrt(με)为波速的倒数1/v。角频率ω=2π/T，周期T乘以波速v即为波长，所以k称为波数，即2π长度的距离包含了几个波长。

再根据麦克斯韦方程，有

http://s4/bmiddle/5701b67cgad980fcc0443&690            (16)

上式表面磁场只有沿y轴方向的分量，将式(15)代入式(16)得

http://s11/bmiddle/5701b67cgad9810acc06a&690                      (17)

上式中

http://s3/bmiddle/5701b67cgad98118fcd32&690                                  

具有欧姆的量纲，而与介质有关，故称为特征阻抗。关于特征阻抗将另作讨论，此处不深入。作一下单位分析，根号内的单位是亨利（Henry）除以法拉（Faraday），不就类似于电路分析中的感抗乘以容抗么？

因此可以作结论在理想均匀各项同性无源空间中，平面电磁波的电场和磁场相互垂直。电场和磁场同相位。

 

III.趋肤效应

 

前面的讨论都假定电磁波在无源均匀介质中传播，无源介质中电导率为0。但在导体中电导率σ不等于0，且在良导体中是一个比较大的值。这样一来，麦克斯韦方程式(7)和式(8)就不再完美地对称，式(8)就改为：

http://s2/bmiddle/5701b67cgad9812674561&690                     

上式往往写成

http://s16/bmiddle/5701b67cgae9dceeffdef&690                 (18)

其中εc称为复介电常数。对上式两端取散度得

http://s4/bmiddle/5701b67cgad9813ece6a3&690                       

所以电荷密度仍为零。若是电导率较小的导体，则复介电常数的虚部可以忽略不计；对于良导体，则对于一维的情况同样得到式(15)的解，但此时k是一个复数，对于良导体常常令γ=jk=α+jβ，γ称为传播常数，α称为衰减常数，β称为相位常数。式(15)改写为

http://s9/bmiddle/5701b67cgad9815444958&690          

出现了e的实指数，且与z有关，这就意味着波的振幅会衰减或增大。显然上式最右端第一项为入射波，且振幅沿着+z方向衰减，第二项为反射波，振幅沿-z方向衰减。也就是说α和β为正实数，显然能量不会凭空产生。

这意味着电磁波在良导体中会迅速衰减，这就是所谓的趋肤效应。

http://s2/bmiddle/5701b67cgad9817545ae1&690             

所以

http://s11/bmiddle/5701b67cgad9822afb15a&690                           

                           

其中

http://s15/bmiddle/5701b67cg77c269fc831e&690                                  

虽然α和β是如此复杂，但是可以看衰减会随着频率的增大而增大。而α的单位为Np/m（奈培每米），β的单位是rad/m（弧度每米）。

另外特征阻抗也成了一个复数，即

http://s11/bmiddle/5701b67cgad98246a990a&690                                    

从而电场和磁场之间有了相位差。读到这里读者或许会问既然电磁场在导体中会指数衰减为什么还用导线来传递信号？比如同轴线。实际上同轴线是起波导的作用，导线几乎不传递能量，传递能量的是同轴线两线之间的空间。另外同轴线内线电场是纵波，当然径向上是横波，所以电流是贴着同轴线内线的表面流动的。这个以后再深入探讨。