曲面积分也是一个二重积分，如果被积函数不是向量函数，则求曲线积分的思想是通过揭示映射关系，把曲面Σ的积分转换成平面D上的积分，而D则是Σ在某个平面上的投影，通常是xOy平面。那么问题就变成去寻找怎样的一种映射关系。

首先来讨论具有代表性的一般情况。

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图1

如图1所示，空间一平面MPQR，它是一个平行四边形，它在xOy平面上的投影为平面MNOL，直线ML和MN分别垂直于x轴和y轴。若点M的坐标为(a,b,0)，则平面NMOL的面积为D=ab。显然平面MPRQ的单位法向量为

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其中，i，j，k分别是x，y和z轴方向上的单位向量。α，β，γ则是单位法向量与x轴，y轴和z轴的夹角。知道了平面MPRQ的平面法向量后，容易理解平面上的向量MR和MP均与法向量垂直，有

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已知点R位于平面xOz上，而P位于平面yOz上。令它们的坐标分别为(a,0,z1)，(0,b,z2)，则有

http://s3/middle/5701b67cga6e8048bbff2&690

得

http://s10/middle/5701b67cga6e804aa3c79&690

则

http://s5/middle/5701b67cga6e804b08324&690

http://s13/middle/5701b67cga6e804b9872c&690

那么平行四边形MPRQ的面积为

http://s15/middle/5701b67cga6e804bfc30e&690

找到了S和D的这层关系之后，也就可以把曲面Σ分割成无穷多块这样的平行四边形dS，每个平行四边形的投影分别为D上的一个矩形dxdy则有

http://s11/middle/5701b67cga6e804d8204a&690

因此只要求得曲面Σ上每一点处的切平面的法向量，然后根据得到的法向量求出|cosγ|就将关于Σ的曲面积分变换成了关于D的平面积分。若曲面的方程为

http://s2/middle/5701b67cga6e804de60d1&690

则曲面上一点(x0,y0,z0)处的切平面的法向量为

http://s1/middle/5701b67cga6e804f68ab0&690

则

http://s1/middle/5701b67cga6e804fcd210&690

而若果曲线方程为

http://s9/middle/5701b67cga6e80f1c34a8&690

则可令

http://s10/middle/5701b67cga6e81ac6f8f9&690

则切平面的法向量为

http://s9/middle/5701b67cga6e829259b18&690

于是

http://s4/middle/5701b67cga6e81ae58023&690

所以

http://s5/middle/5701b67cga6e81ae58684&690

http://s12/middle/5701b67cga6e81b50474b&690

图2

下面来求半径为1，高为1的圆锥的锥面面积来验证上述公式。圆锥如图2所示，锥面方程为

http://s5/middle/5701b67cga6e81af4bd24&690

得

http://s13/middle/5701b67cga6e81b1347cc&690，

http://s3/middle/5701b67cga6e81b227e72&690

同时知道可将圆锥分割成无数个三角形，三角形的高为http://s12/middle/5701b67cga6e81b31d94b&690，底边长为1dθ，则有

http://s4/middle/5701b67cga6e81b411913&690

上述结论得到验证