万有引力、重力与向心力

几个概念：

1．万有引力、重力、向心力

2．轨道半径、曲率半径、星体间距离

3．向心加速度，重力加速度

4．发射速度，环绕速度

 

万有引力http://s9/middle/56b3cd5chc956c1b87428&690 ，其中R是两物体之间的距离；

向心力http://s11/middle/56b3cd5chc956c276c27a&690 ，其中r是做圆周运动的物体的轨道半径。

在高三学生的思维意识中，一说到万有引力马上与向心力联系起来，而且很容易地认为万有引力等于向心力，为了消除这样的思维定势，列举部分实例。

1．椭圆轨道上天体运动（万有引力不一定等于向心力，距离不等于半径）

2．双星系统（万有引力等于向心力，距离不等于半径）

3．三星及多星系统（万有引力不一定等于向心力，距离不等于半径）

4．地球表面随地球一起自转的物体（万有引力不一定等于向心力，距离不等于半径）

 

1．椭圆轨道上天体运动

对于椭圆轨道上的一般位置，万有引力不等于向心力，距离不等于半径，对于近地或远地点，万有引力等于向心力，但距离不等于半径。

http://s5/middle/56b3cd5chc956c5a9b874&690   http://s8/middle/56b3cd5chc956c6254f17&690

1．发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3。轨道1、2相切于Q点（如图），则当卫星分别在1，2，3轨道上正常运行时，以下说法正确的是（    ）

A、卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率

B、卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度

C、卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上的经过Q点时的加速度

D、卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度

http://s9/middle/56b3cd5chc956c7dc1bd8&690

2．双星系统

对于双星系统，是考查万有引力与向心力关系及如何规范科学解题的很好模型。

万有引力等于向心力但距离不等于半径。

1．两颗靠得很近的恒星称作为双星，这两颗星必须各以一定速率绕某一中心转动才不至于因万有引力作用而吸引在一起。已知双星的质量比分别为m₁和m₂，相距为L，求：

（1）双星转动的半径

（2）双星转动的周期

http://s7/middle/56b3cd5chc956ca900436&690

2．宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之为双星系统。在浩瀚的银河系中，多数恒星都是双星系统。设某双星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示。若AO>OB，则（BD）

A．星球A的质量一定大于B的质量

B．星球A的线速度一定大于B的线速度

C．双星间距离一定，双星的质量越大，其转动周期越大

D．双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大

 http://s6/middle/56b3cd5chc956cb555965&690

3．三星及多星系统

万有引力不等于向心力距离不等于半径

1．（2006广东卷）宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设每个星体的质量均为m。

（1）试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期。

（2）假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？

 

http://s6/middle/56b3cd5chc956cef2bfb5&690

4．地球表面随地球一起自转的物体

用M表示地球的质量，R表示地球的半径，ω表示地球自转的角速度，φ表示物体所在处的纬度，θ表示重力G与引力F的夹角，则物体所受的引力，随地球一起自转所需的向心力f=mω²r= mω²Rcosφ，物体所受的重力G=mg

对赤道上的物体，F=f+G，而G=N，故有：http://s4/middle/56b3cd5chc956d528dbe3&690 ，当角速度越大，N越小，再大将脱离星球表面。

http://s13/middle/56b3cd5chc956d23a127c&690

总结：对地面上随地球一起自转的物体，其所受到的万有引力近似等于物体的重力，而远远大于物体的向心力。F_万≈G、F_万>>F_向

 1．（01夏季上海）组成星球的物质是靠引力吸引在一起的，这样的星球有一个最大的自转速率.如果超过了该速率，星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体做圆周运动.由此能得到半径为R、密度为ρ、质量为M且均匀分布的星球的最小自转周期T.下列表达式中正确的是（AD）

A.T＝2http://s1/middle/56b3cd5chc956d7201bd0&690          B.T=2 http://s2/middle/56b3cd5chc956d7b70841&690

C.T= http://s15/middle/56b3cd5chc956d87c2b3e&690               D.T＝ http://s3/middle/56b3cd5chc956d919b782&690

2．（03高考）中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。现有一中子星，已知它的自转周期为T= _{http://s15/middle/56b3cd5chc956de187aee&690}s。问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星体的稳定，不致因自转而瓦解。计算时星体可视为均匀球体。（引力常数G=6.67×10^-11N_*m²_*kg^-2）

 

 

3．某行星的自转周期T₀，同一物体在其赤道处的重力是在两极处重力的http://s10/middle/56b3cd5chc956dffff589&690 ，求此行星的密度。

 

地面上的物体与天空中的天体：

1．同步卫星到地心的距离为r，加速度为a₁，速率为v₁；地球半径为R，赤道上物体随地球自转的向心加速度为a₂，速率为v₂，则（ D ）

A．http://s3/middle/56b3cd5chc956e2536762&690   B．http://s12/middle/56b3cd5chc956e2f499db&690   C. _{http://s4/middle/56b3cd5chc956e392d1b3&690}   D． _{http://s13/middle/56b3cd5chc956e4d7dc2c&690}

2．我国西昌卫星发射基地有一待发通讯卫星，发射前随地球一起自转做圆周运动，设所受向心力为F₁，向心加速度为a₁，角速度为ω₁，动能为E₁；成功发射后绕地球在同步轨道上做匀不速圆周运动，设此时所受向心力为F₂，向心加速度为a₂，角速度为ω₂，动能为E₂。则下列说法正确的是：（CD）

A．F₁ >F₂          B．a₁ =a₂          C．E₁ 2      D．ω₁=ω₂

 

3．（2010上海）月球绕地球做匀速圆周运动的向心加速度大小为a，设月球表面的重力加速度大小为g₁，在月球绕地球运行的轨道处由地球引力产生的加速度大小为g₂，则（B）

A．http://s4/middle/56b3cd5chc956e75c9013&690       B．http://s11/middle/56b3cd5chc956e7bdf2da&690      C．http://s5/middle/56b3cd5chc956e8861f04&690     D． _{http://s5/middle/56b3cd5chc956e965e134&690}

4．已知地球赤道上的物体随地球自转的线速度大小为v₁，向心加速度大小为a₁，近地卫星速度大小为v₂，向心加速度大小为a₂，地球同步卫星线速度大小为v₃，向心加速度大小为a₃，设近地卫星距地面高度不计，同步卫星距地面高度约为地球半径的6倍，则以下结论正确的是（BD）

A． http://s7/middle/56b3cd5chc956eb6a30b6&690      B．http://s4/middle/56b3cd5chc956ebebbf03&690       C． http://s13/middle/56b3cd5chc956ec93f06c&690     D． http://s3/middle/56b3cd5chc956ed52bbd2&690 

根据上面的情况，不妨我们总结出这样的思维程序：

1．对研究的天体进行受力分析

2．找圆周运动的轨迹及圆心

3．正交分解（寻求万有引力与向心力的关系）

这样统一到了般圆周运动或一般运动学的解题思路上。