上一篇博文中，1.给出的最大内接正三角形公式，漏考虑了一种情形，这里补正，2.没有给出最小内接正三角形公式，这次给出。

下面讨论中，有关符号同前博文，且仍然假定a>=b>=c。

目前试下来，最大内接正三角形有三种情形。

1.最大内接正三角形在三角形的最短边上，如下图所示。

前面讲过，内接正三角形在AB边上的顶点为P1(x1,y1)，而AB线的直线方程为：

y=a1*x

过P1、C点的的直线方程为：

y=k1*(x-c)      其中，k1=tan(2*π/3)

 联立方程

y1=a1*x1

y1=k1*(x1-c)

得  x1=3^0.5*c/(a1+3^0.5)

设此时内接正三角形的边长为d1，则

d1^2=(x1-c)^2+y1^2

内接正三角形的面积为

s1=d1^2*sin(π/3)/2

计算公式如下图所示

 

2.最大内接正三角形在三角形的中间长边上，如下图所示。

内接正三角形在AB边上的顶点为P1(x1,y1)，AB线的直线方程为：

y=a1*x

过点P1与C点的的直线方程为：

y=k2*(x-c)      其中，k2=tan(atan(a2)+π/3)

联立方程

y1=a1*x1

y1=k2*(x1-c)

得 x1=-c*tan(π/3+atan(a2))/(a1-tan(π/3+atan(a2))

设此时内接正三角形的边长为d2，则

d2^2=(x1-c)^2+y1^2

内接正三角形的面积为

s2=d2^2*sin(π/3)/2

计算公式如下图所示

3.最大内接正三角形在三角形的最长边上，如下图所示。

内接正三角形在BC边上的顶点为P2(x2,y2)，BC线的直线方程为：

y=a2*x+b2

过点P2与A点的的直线方程为：

y=k3*x       其中，k3=tan(atan(a1)-π/3)

联立方程

y2=a2*x2+b2

y2=k3*x2

得 x2=b2/(-tan(π/3-atan(a1))-a2)

设此时内接正三角形的边长为d3，则

d3^2=x2^2+y2^2

内接正三角形的面积为

s3=d3^2*sin(π/3)/2

计算公式如下图所示

s1-s3三套公式的选用；

1.当角A>=60°时，选s3计算公式。

2.当角A<60°   且   角C外角<=60°时，选s2计算公式。

3.当角A<60° 且 角C外角>60°时，选s1计算公式。

或者简单的

smax=middle(s1,s2,s3)

那是不是还有遗漏呢，目前看来，应该没有了。

 

最小内接正三角形

前面说过，最小内接正三角形是个凸优化问题，那就有可能通过求极值来求解

设

f1=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2

f2=(x1-x3)^2+(y1-y3)^2

f3=(x2-x3)^2+(y2-y3)^2

由f2=f3，可以求出

x3 =1/2*(x1^2-a2^2*x2^2+a1^2*x1^2-x2^2-2*a2*x2*b2-b2^2)/(x1-x2)

然后，将x3代入f1、f2，再使f1=f2，可以求出

x1 =[ (b2-i*x2+a2*x2)/(a1-i) ,
        (b2+i*x2+a2*x2)/(i+a1) ,
  -(a2*x2-3^(1/2)*x2+b2)/(a1+3^(1/2)) ,
 -(a2*x2+3^(1/2)*x2+b2)/(-3^(1/2)+a1) ]

舍弃不合理的第1、2、4个根，则

x1= -(a2*x2-3^(1/2)*x2+b2)/(a1+3^(1/2))

则 y1=a1*x1

而 y2=a2*x2+b2

设 ds=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2

对ds求导，即求d(ds)/d(x2)，并使(ds)'=0，求得

x2 =-1/2*b2*(-a1+2*a2+2*a1^2*a2-a1^2*3^(1/2)+2*a1*a2*3^(1/2))/(a1^2-a1*a2+a2^2+a1^2*a2^2-a1^2*a2*3^(1/2)+a1*a2^2*3^(1/2))

由x1、y1、x2、y2可以求得smin

当任意三角形是个正三角形时
smin =1/16*a^2*3^(1/2)

 

最后，我们来看看专业人士是怎么玩的，从网上搜罗一些文章，做一下确认比较。

文一如下图，里面有两套公式计算内接正三角形的最大边，对应于与不同情形。

 当a=9，b=8，c=2时，公式计算正确，如下图所示

 当a=9，b=8，c=1.5时，公式计算正确，如下图所示

 当a=9，b=8，c=5时，公式计算不正确，如下图所示

文一的计算值相当于前面的s1、s2，如下图所示

文二如下图，里面有计算内接最小正三角形的面积公式。

文三如下图，里面有计算内接最小正三角形的面积公式。

文四如下图，里面有计算内接最小正三角形的面积公式。

试了三组数据，分别是
a=9，b=8，c=2时； a=9，b=8，c=1.5时；a=9，b=8，c=5时，文二、三、四计算公式全部得出正确结果，如下图所示。

结论，用高等数学的方法来处理这一问题，也有点价值，一是结果是正确的，二是不存在遗漏的情形，三是通过总结也可得出计算公式，用初等数学来处理，在最大内接正三角形问题上容易有遗漏。