e^x的基本算法——剥离大指数法

 

e^x泰勒展开式

e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……

当x<0.1时，e^x泰勒展开式收缩很快，

当x=1时，e=1+1/1!+1/2!+1/3!+....+1/(n-1)!+.....

＝2.7182818284590452353602874713527，收缩较快；

当x>1时，e^x泰勒展开式收缩慢，利用 e^(y+z)= (e^y)* (e^z) 把指数的正整数部分和小数部分剥离出来。

整数部分进一步拆分为大整数和小整数，

小数部分进一步拆分为大小数和小小数，

当小小数<0.1时，用e^x泰勒展开式。

 

用平方，开平方，或e^x泰勒展开式先求出一些基本的e^m值

例如：e^768=(e^384 )^2=(5.87599003828924E+166)^2

＝(5.87599003828924^2)*(10^166)^2＝3.45272589300743E+333

这已经超过了Excel2003表格的计算上限。但是用科学计数法手工计算乘法很方便。都是10以内的乘法，只不过小数点后拖了十几位数而已。所谓的大数，不过是从10^166一下跳到10^332而已。

 

一些基本的e^m值表：15位有效数

 

指数m	e^m值
768.000	3.45272589300743E+333
512.000	2.28441358653976E+222
384.000	5.87599003828924E+166
256.000	1.51142766500410E+111
192.000	2.42404414941008E+83
128.000	3.88770840599460E+55
096.000	4.92345828601206E+41
064.000	6.23514908081162E+27
048.000	7.01673591209763E+20
032.000	7.89629601826807E+13
024.000	2.64891221298435E+10
016.000	8.88611052050787E+06
012.000	1.62754791419004E+05
008.000	2.98095798704173E+03
006.000	4.03428793492735E+02
004.000	5.45981500331442E+01
003.000	2.00855369231877E+01
002.000	7.38905609893065E+00
001.500	4.48168907033806E+00
001.000	2.71828182845905E+00
000.800	2.22554092849247E+00
000.500	1.64872127070013E+00
000.400	1.49182469764127E+00
000.250	1.28402541668774E+00
000.200	1.22140275816017E+00
000.125	1.13314845306683E+00
000.100	1.10517091807565E+00

 

上表指数有三个系列

指数0.1系列：0.8，0.4，0.2，0.1；

指数1系列：512，256，128，64，32，16，8，4，2，1，0.5，0.25，0.125；

指数3系列：768，384，192，96，48，24，12，6，3，1.5；

其中：指数0.1系列可以被替代合并到指数3系列中，变成

768，384，192，96，48，24，12，6，3，1.5，0.75，0.375，0.1875，0.09375；这在自动筛选中有优势；不过，在我的手工筛选中，看起来不直观，我没采纳。

 

三个系列指数依次减半，e^m值形成两道交叉拦截网，能快速剥离出上表已知的e^m大乘数，剩下小小乘数，用e^x泰勒展开式求得。

 

这就是e^x的基本算法——剥离大指数法，戏称“剥洋葱法”。

 

无论是大乘数，还是小乘数，在有效值范围内都没有误差。结果应该只有末位微小误差。

 

例1：求e^709.78

[附注]：e^709.78是Excel 2003能算的最大e指数。

解答方法：

与上表一些基本的e^m值比较大小，先减去比自身小的最大指数；剩余数再减去最大指数；直到剩余指数<0.1为止。剩下小小乘数，用e^x泰勒展开式求得。

解：709.78-512＝197.78-192＝5.78-4＝1.78-1.5＝0.28-0.25＝0.03

我上面连减连等，只是赋值过程，实际等式并不成立。

则e^709.78＝e^512*e^192*e^4*e^1.5*e^0.25*(1+0.03+0.03^2/2!+0.03^3/3!+…)

=(2.28441358653976E+222)*( 2.42404414941008E+83)*( 1.49182469764127E+00)

*( 4.48168907033806E+00)*( 1.28402541668774E+00)* (1.03045453395352E+00)

=1.79282279439456E+308

对比

用winXP附件计算器算得e^709.78＝1.792822794394564537793394126609e+308

用Excel 2003所算exp(709.78)＝1.79282279439452E+308，末位误差4。

 

例2：求e^609.78

用剥离大指数法算得e^609.78＝6.66943700668976E+264

用winXP附件计算器算得e^609.78＝6.6694370066897621913640530143816e+264

用Excel 2003所算exp(609.78)＝6.66943700668958E+264，次末位误差2，误差超过预期值。

 

例3：求e^709.75

用winXP附件计算器算得e^609.75＝1.7398368732641605576982527118271e+308

用上述另外两种方法算得exp(709.75)＝1.73983687326416E+308，

都没有误差。

 

归纳3例：

我用剥离大指数法 剥离出 无论是大乘数，还是小乘数，在有效值范围内都没有误差。结果没有误差。而用Excel 2003所算exp(x)误差比我的大得多。

 

Excel 2003能算的e指数上限是e^709.78，

而winXP附件计算器的e指数上限是e^100000，十万！看着吓人，想当然认为运算量惊人，实际上指数翻倍表很快就能达到。只要多存贮十几个数就行。

 

e指数从768到98304的基本的e^m值表：32位有效数

 

指数m*	e^m值
98304**	7.6691815229220805415649846411723e+42692
65536**	8.3784949360959980424147659911234e+28461
49152**	2.7693287134109017758911569794102e+21346
32768**	9.153411897263226536143191093518e+14230
24576**	1.6641300169791126557423069120266e+10673
16384**	3.0254606091078473230142723118225e+7115
12288**	4.0793749729328789121855707231938e+5336
8192***	5.5004187196138507460749835307009e+3557
6144***	2.019746264492864190772097799669e+2668
4096***	7.4164807824289889048192105074986e+1778
3072***	1.4211777737119533881371856259636e+1334
2048***	2.7233216450557192501248059284353e+889
1536***	1.1921316092243982556320386304063e+667
1024***	5.2185454343674342011212095343615e+444
768****	3.452725893007433996921737546073e+333

 

例4：求e^1234.56

解：先逐层剥离大指数

1234.56-1024＝210.56-192＝18.56-16＝2.56-2＝0.56-0.5＝0.06

则e^1234.56＝e^1024* e^192* e^16* e^2* e^0.5* e^0.06

＝(5.2185454343674342011212095343615e+444)*(2.42404414941008E+83)

*(8.88611052050787E+06)*( 7.38905609893065)*( 1.64872127070013)

*(1+0.06+0.06^2/2!+0.06^3/3!+…)

在Excel 2003中先算e^192* e^16* e^2* e^0.5* e^0.06

＝2.78641699004831E+91

再乘以5.21854543436743，得1.45410436616604E+92

最后乘以10^444得1.45410436616604E+536

对比

用winXP附件计算器算得

e^1234.56＝1.4541043661660424155251073646321e+536

没有误差。