三角形母不等式的应用

(1)  对于任意正数x，y，z及△ABC的三内角A、B、C，有

x²+y²+z²≥2yzcosA+2zxcosB+2xycosC

证明：x²+y²+z²-2yzcosA-2zxcosB-2xycosC=(x-zcosB-ycosC)²+(ysinc-zsinB)²≥0

当且仅当  sinA/x=sinB/y=sinC/z  时等号成立

(2)  对于任意正数x，y，z及△ABC的三内角A、B、C，有

x²+y²+z²+2yzcos 2A+2zxcos2B+2xycos2C≥0 

证明：x²+y²+z²+2yzcos2A+2zxcos2B+2xycos2C=(x+zcos2B+ycos2C)²+(ysin2c-zsin2B)² ≥0 

当且仅当  yzsin²A/(y+z-x)=zxsin²B/(z+x-y)=xysin²C/(x+y-z)  时等号成立

(3)在(1)中用 1/x、1/y、1/z 代替x，y，z，有

xcosA+ycosB+zcosC≤1/2 (yz/x +zx/y +xy/z)

(4)在(2)中用 1/x、1/y、1/z 代替x，y，z，有

xcos2A+ycos2B+zcos2C≥-1/2 (yz/x +zx/y +xy/z)

(5)在(4)中应用二倍角公式，有

xsin²A+ysin²B+zsin²C≤xyz/4 (1/x +1/y +1/z)

(6)在(3)中用a、b、c代替x，y，z得

acosA+bcosB+ccosC≤1/2 (bc/a +ca/b +ab/c)

又由于acosA+bcosB+ccosC 是△ABC的垂足三角形的周长，由此得

△ABC的垂足三角形的周长不超过1/2 (bc/a +ca/b +ab/c)

(7)将(6)中不等式化为正弦形式有

sin2A+sin2B+sin2C≤sinBsinC/sinA + sinCsinA/sinB + sinAsinB/sinC

(8)在(3)中用cosA、cosB、cosC代替x、y、z有

cos²A+cos²B+ cos²B≤1/2(cosBcosC/cosA +osA/cosB +cosAcosB/cosC)

(9)在(3)中用 cosC/cosB、cosA/cosC、cosB/cosA 代替z、y、z有

cosBcosC/cosA +osA/cosB +cosAcosB/cosC

≤1/2(cos²B/cos²C +cos²C/cos²A +cos²A/cos²B)

结合(8)有  cos²B/cos²C +cos²C/cos²A +cos²A/cos²B≥4(cos²A+cos²B+ cos²B)

(10)在(5)中用x²+k、y²+k、z²+k代替x、y、z有

(x²+k)sin²A+(y²+k)sin²B+(z²+k)sin²C≤1/4 [1/(x²+k) +1/(y²+k) +1/(z²+k)](x²+k)(y²+k)(z²+k),(k>0)

而(xsinA+ysinB+zsinC)²≤[(x²+k)sin²A+(y²+k)sin²B+(z²+k)sin²C][x²/(x²+k) + y²/(y²+k) + z²/(z²+k)] 

令x²/(x²+k) + y²/(y²+k) + z²/(z²+k) =1，则1/(x²+k) +1/(y²+k) +1/(z²+k)=2/k

这样  (xsinA+ysinB+zsinC)²≤(x²+k)sin²A+(y²+k)sin²B+(z²+k)sin²C≤1/k² (x²+k) (y²+k) (z²+k)

当且仅当 (x²+k)sin²A/x=(y²+k)sin²B/y=(z²+k)sin²C/z时等号成立

于是  已知正数x、y、z、k满足x²/(x²+k) + y²/(y²+k) + z²/(z²+k) =1，△ABC的三内角A、B、C，则

xsinA+ysinB+zsinC≤1/k 根号下[(x²+k) (y²+k) (z²+k)]

当且仅当(x²+k)sin²A/x=(y²+k)sin²B/y=(z²+k)sin²C/z 时等号成立

(11)用1/(y+z),1/(z+x),1/(x+y)代替(5)中x、y、z，有

sin²A/(y+z) +sin²B/(z+x) + sin²C/(x+y)≤(x+y+z)²/(x+y)(y+z)(z+x)

(12)对(11)用加权幂平均不等式

 [xsin²A/x(y+z) +ysin²B/y(z+x) + zsin²C/z(x+y)]/(x+y+z)

≥{[sin²A/x(y+z)]^(x)*[sin²B/y(z+x)]^(y)[sin²C/z(x+y)](z)}^[1/(x+y+z)]

即sin²A/(y+z) +sin²B/(z+x) + sin²C/(x+y)

≥(x+y+z)*{[[sin^(x)A][sin^(y)B][sin^(z)C]]²/{x^(x)*y^(y)*z^(z)*(y+z)^(x)*(z+x)^(y)*(x+y)^(z)}^[1/(x+y+z)]

于是有x，y，z>0, △ABC中

[sin^(x)A][sin^(y)B][sin^(z)C]

≤根号下{[x^(x)*y^(y)*z^(z)*(x+y+z)^(x+y+z)]/(x+y)^(z+y)*(y+z)^(y+z)*(z+x)^(z+x)}

当且仅当sinA/根号下[x(y+z)]= sinB/根号下[y(z+x)]=sinC/根号下[z(x+y)]时等号成立。