介绍数学分析内容体系中体现的函数＼极限＼连续＼可导＼积分＼级数思想的产生，发展，内涵，本质及应用

微积分的诞生，是全部数学史上的一个伟大创举．它曾经历了两千多年的孕育和准备阶段；随着十六、十七世纪欧洲的文艺复兴、产业革命等一系列社会改革，社会生产得到了具大的发展，从而对数学的需求更加迫切，微积分也应运而生；经过十八、十九世纪数学家们的努力，使微积分逐步趋于完善，并发展成为今天具有广泛应用的庞大的基础数学分支学科——数学分析。
我们在本书中介绍的主要内容是：数学分析内容中体现的数学思想、蕴涵的哲学思想，数学分析内容中常用的数学思想、数学分析中的美学思想以及在创立微积分的过程中作出了卓越贡献的数学家所采用的思想和方法，
第一部分 数学分析内容中体现的数学思想
一、函数的思想
“用函数来思考”是大数学家克莱因领导的数学教育改革运动的口号。函数是数学中最重要的基本概念，也是数学分析的研究对象。函数的思想，就是运用函数的方法，必要时引入辅助函数，将常量视为变量、化静为动、化离散为连续，将所讨论的问题转化为函数问题加以解决的一种思想方法。
1．函数概念的产生与发展
（1）函数概念的起源
函数概念的萌芽，可以追溯到古代对图形轨迹的研究，随着社会的发展，人们开始逐渐发现，在所有已经建立起来的数的运算中，某些量之间存在着一种规律：一个或几个量的变化，会引起另一个量的变化，这种从数学本身的运算中反映出来的量与量之间的相互依赖关系，就是函数概念的萌芽。在代数学的方程理论中，对不定方程的求解，使得人们对函数概念逐步由模糊趋向清晰。
（2）函数概念的产生
恩格斯指出：“数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学” 。笛卡儿在1637年出版的《几何学》中，第一次涉及到变量，他称为“未知和未定的量”，同时也引入了函数的思想。英国数学家格雷果里在1667年给出的函数的定义，被认为是函数解析定义的开始。他在“论圆和双曲线的求积”中指出：从一些其他量经过一系列代数运算或任何其他可以想象的运算而得到的一个量。这里的运算指的是五种代数运算以及求极限运算，但这一定义未能引起人们的重视。
一般公认最早给出函数定义的是德国数学家莱布尼兹，他在1673年的一篇手稿中，把任何一个随着曲线上的点变动而变动的几何量，如切线、法线、点的纵坐标都称为函数；并且强调这条曲线是由一个方程式给出的。莱布尼兹又在1692年的论文中，称幂的 、 、 等为的幂数，把幂与函数看作同义语，以后又用“函数”表示依赖于一个变量的量。
（3）函数概念的扩张
函数概念被提出后，由于微积分学的发展，函数概念也不断进行扩张，日趋深化。致使函数概念日趋精确化、科学化。函数概念在发展过程中，大致经过了以下几个阶段的扩张。
第一次扩张主要是解析扩张，提出了“解析的函数概念”。瑞士数学家约翰．伯努利于1698年给出了函数新的定义：由变量和常量用任何方式构成的量都可以叫做的函数。这里的“任何方式”包括了代数式子和超越式子。1748年欧拉在《无穷小分析引论》中给出的函数定义是：“变量的函数是一个解析表达式，它是由这个变量和一些常量以任何方式组成的”。1734年欧拉还曾引入了函数符号，并区分了显函数和隐函数、单值函数和多值函数、一元函数和多元函数等。在十八世纪占主要地位的观点是，把函数理解为一个解析表达式(有限或无限的)。
函数概念的第二次扩张是从几何方而的扩张，提出了“几何的函数概念”。十八世纪中期的一些数学家发展了莱布尼兹将函数看作几何量的观点，而把曲线称为函数(因为解析表达式在几何上表示为曲线)。达朗贝尔在1746年研究弦振动问题时，提出了用单独的解析表达式给出的曲线是函数，后来欧拉发现有些曲线不一定是由单个解析式给出的，因此提出了一个新的定义，函数是：“ 平面上随手画出来的曲线所表示的 与的关系”。即把函数定义为由单个解析式表达出的连续函数，也包括由若干个解析式表达出的不连续函数（不连续函数的名称是由欧拉提出的）。
函数概念的第三次扩张，朴素地反映了函数中的辩证因素，体现了“自变”到“因变”的生动过程。形成了“科学函数定义的雏型”。1775年，欧拉在《微分学》一书中，给出了函数的另一定义：“如果某些变量，以这样一种方式依赖于另一些变量，即当后者变化时，前者也随之变化，则称前面的变量为后面变量的函数”。值得指出的是，这里的“依赖”、“随之变化”等等的含义仍不十分确切。这个定义限制了概念的外延，它只能算函数概念的科学雏型。在这次函数概念的扩张中，十九世纪最杰出的法国数学家柯西在1821年所著的《解析教程》中，给出了如下函数定义：“在某些变量间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变量的值，其他变量的值也随之确定，则将最初的变量称为自变量，其他各个变量称为函数”。这个定义把函数概念与曲线、连续、解析式等纠缠不清的关系给予了澄清，也避免了数学意义欠严格的“变化”一词。函数是用一个式子或多个式子表示，甚至是否通过式子表示都无关要紧。
函数概念的第四次扩张，可称为“科学函数定义”进入精确化阶段。德国数学家狄利克雷于1837年给出了函数定义：“若对x(a≤x≤b)的每一个值，y总有完全确定的值与之对应，不管建立起这种对应的法则的方式如何，都称y是x的函数”。这一定义彻底地抛弃了前面一些定义中解析式的束缚，强调和突出函数概念的本质，即对应思想，使之具有更加丰富的内涵。因而，此定义才真正可以称得上是函数的科学定义，为理论研究和实际应用提供了方便。狄利克雷还给出了著名的函数（人们称为狄利克雷函数），这个函数是难以用简单的包含自变量x的解析式表达的，但按照上述定义的确是一个函数。为使函数概念适用范围更加广泛，人们对函数定义作了如下补充：“函数y=f(x)的自变量，可以不必取[a,b]中的一切值，而可以仅取其任一部分”，换句话说就是x的取值可以是任意数集，这个集合中可以有有限个数、也可以有无限多个数，可以是连续的、也可以是离散的。这样就使函数成了一个非常广泛的概念。但是，自变量及函数仍然仅限于数的范围，而且也没有意识到“函数”应当指对应法则本身。
函数概念的第五次扩张，提出了“近代函数定义”。出现了美国数学家维布伦的函数定义，这个定义是建立在重新定义变量、变域和常量的基础上的。所谓变量，是代表某集合中任意一个“元素”的记号，由变量所表示的任一元素，称为该变量的值。变量x代表的“元素”的集合,为该变量的变域，而常量是上述集合中只包含一个“元素”情况下的特殊变量。这样的变量与常量的定义，比原来的定义更趋一般化了，而且克服了以往变量定义的缺陷，变量“变动”改进为变量在变域（集合）中代表一个个元素。利用这一变量的定义，维布伦给出了近代函数定义：“设集合X、Y，如果X中每一个元素x都有Y中唯一确定的元素y与之对应，那么我们就把此对应叫做从集合X到集合Y的映射,记作f：X Y，y=f(x)”。映射的特殊情况，从数集到数集的映射就是前面狄利克雷的函数定义；从“数集”到“集”仅一字之差，但含意却大不相同。从而使函数概念摆脱了数的束缚，使得函数概念能广泛地应用于数学的各个分支及其它学科中。
函数概念的第六次扩张，提出了“现代函数定义”。19世纪康托尔创建了集合论，函数概念进入了集合论的范畴，使函数概念纯粹地使用集合论语言进行定义。在这种情形下，函数、映射又归结为一种更为广泛的概念——关系。“设集合X、Y，定义X与Y的积集X Y如下：X Y＝{(x，y)|x X，y Y}。积集X Y中的一个子集R称为X与Y的一个关系，若(x，y) R，则称x与y有关系R,记为xR(y)；若(x，y) R，则称x与y无关系R。设是x与y的关系，即 X Y，如果(x，y)、(x，z) ，必有y=z，那么称为X到Y的映射或函数”。这就是现代的函数定义，它在形式上回避了“对应”术语，使用的全部是集合论的语言，一扫原来定义中关于“对应”的含义存在着的模糊性，而使函数念更为清晰、正确，应用范围更加广泛了。
2．函数概念的本质
我们以 为例分析函数概念的本质。
①在抽象出的具体函数关系中， 、的地位与作用是不相同的。因为客观事物的联系在分割开来考察时，总有确定的因果关系。在中， 处于主动地位，我们称自变量， 处于被动地位，我们称因变量，y与的关系是自变量与因变量的关系，其中自变量处于主动地位，因变量处于依从地位，所以自变量的变化处于主导地位。
②y与 之间用等号连结，但不是简单的数量上相等的关系，而是变量y与之间的等价关系。等式左右两边y与 都是依赖于的，这是同一性；但又包含着不容忽视的差异性：左边的我们只知道它依赖于 ，但按怎样确定的方式依赖于，并没有表达出来。马克思称它为“依赖于 的函数”。而右边的 是直接用的组合表示出来的，马克思称之为“用 表示的函数”和 （用表示的函数）之间的等价关系。只有这时左边才是右边数量的表现。因此函数左右两边是抽象与具体的统一。左边的 是抽象的，右边的是具体的，因此活动的主动性在右边。也就是说，对于研究函数，我们关心的是用表示出来的具体的依赖关系。
③ 反映的是变量与变量之间的关系。但从式子本身看，我们直接得到的是状态间的关系，其中与y之间可变性的关系虽然是变量本身所固有的，但是在关系式中却是隐藏着的。所以函数关系是与y之间明显的状态关系与隐藏的可变性关系的统一体，而函数关系式揭示明显状态关系是主要的方面。
根据以上分析，由第①点，自变量与因变量的主从地位中，自变量处于主导的地位，那么自变量的变化范围一一定义域与因变量的变化范围——值域中，值域是由定义域经过函数关系所决定的。因此自变量的变化范围起着主要的决定作用。这表现在数学上，将自变量的变化范围一—定义域，作为函数的基本要素之一。
由第②点分析的抽象与具体的对立统一，也就是“依赖于 的函数”与“用表示的函数”二者的对立统一。其中“用表示的函数”起主导作用。因为对一个函数，我们不但要了解y依赖于，而且更重要的是了解y按照怎样的条件所规定的关系依赖于。要确定一个函数，只抽象地知道y依赖于是不够的，我们的目的在于要知道y怎样具体地依赖于。在数学上就是要确定具体的对应法则。所以对应法则是构成函数的另一个基本要素。
由此可见，函数的基本要素有两条：(1)定义域，(2)对应法则。只要这两条确定了，函数就完全确定了，抓住了这两条，就在数学上抓住了函数慨念的本质。如，与在数学上代表完全相同的函数，因为它们的定义域相同，对应法则也相同。至于用什么字母表示自变量、因变量并非本质问题。而与 是不同的函数，因为对应法则虽然相同，但定义域不同。又如， 与代表同一个函数。因为对应关系是否相同的实质不在于表达式的形式是否一样，而在于对同一个，是否对应着相同的y值。 同理 与 ，也代表同一个函数。
由第③点，明显的状态关系与隐藏的可变性关系中，明显的状态关系是主要方面，函数刻划运动主要是从状态方面来表现运动，是从运动的反面“静止”来度量运动，而要揭示与之间的可变性关系，函数工具是有局限性的，这是数学分析发展中要进一步解决的课题。
3．函数思想在数学分析中的应用
（1）以函数为桥梁，实现函数与方程、不等式间的转化
①方程与函数相比，前者是静止，后者是运动。方程的根可视为对应函数在某种特定状态下的值。当研究方程问题时，特别是证明方程根的存在性与个数时，我们可以从函数的观点出发，化静为动，这样往往可以化难为易、化繁为简。
②我们在证明不等式时，可以将不等式问题化为函数问题，为解决问题带来方便。
（2）以函数为背景，实现函数思想在数列中的应用
数列和函数相比，前者离散，后者连续。从函数的观点出发，将数列问题转化为相应的函数问题，是求数列问题的一种有效方法。
（3）化离散为连续，解决级数问题
（4）引入辅助函数，证明有关问题
二、极限的思想
极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。
所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。
极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。如果要问：“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科”。
1.极限思想的产生与发展
（1）极限思想的由来.
与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物。极限的思想可以追溯到古代，刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显地“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明。
到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明。如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。
　（2）极限思想的发展
极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相联系的。16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期，生产力得到极大的发展，生产和技术中大量的问题，只用初等数学的方法已无法解决，要求数学突破只研究常量的传统范围，而提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具，这是促进极限发展、建立微积分的社会背景。
　起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分，后来因遇到了逻辑困难，所以在他们的晚期都不同程度地接受了极限思想。牛顿用路程的改变量ΔＳ与时间的改变量Δｔ之比ΔＳ／Δｔ表示运动物体的平均速度，让Δｔ无限趋近于零，得到物体的瞬时速度，并由此引出导数概念和微分学理论。他意识到极限概念的重要性，试图以极限概念作为微积分的基础，他说：“两个量和量之比，如果在有限时间内不断趋于相等，且在这一时间终止前互相靠近，使得其差小于任意给定的差，则最终就成为相等”。但牛顿的极限观念也是建立在几何直观上的，因而他无法得出极限的严格表述。牛顿所运用的极限概念，只是接近于下列直观性的语言描述：“如果当ｎ无限增大时，ａｎ无限地接近于常数Ａ，那么就说ａｎ以Ａ为极限”。
　这种描述性语言，人们容易接受，现代一些初等的微积分读物中还经常采用这种定义。但是，这种定义没有定量地给出两个“无限过程”之间的联系，不能作为科学论证的逻辑基础。
　正因为当时缺乏严格的极限定义，微积分理论才受到人们的怀疑与攻击，例如，在瞬时速度概念中，究竟Δｔ是否等于零?如果说是零，怎么能用它去作除法呢?如果它不是零，又怎么能把包含着它的那些项去掉呢?这就是数学史上所说的无穷小悖论。英国哲学家、大主教贝克莱对微积分的攻击最为激烈，他说微积分的推导是“分明的诡辩”。
　贝克莱之所以激烈地攻击微积分，一方面是为宗教服务，另一方面也由于当时的微积分缺乏牢固的理论基础，连牛顿自己也无法摆脱极限概念中的混乱。这个事实表明，弄清极限概念，建立严格的微积分理论基础，不但是数学本身所需要的，而且有着认识论上的重大意义。
　（3）极限思想的完善
　极限思想的完善与微积分的严格化密切联系。在很长一段时间里，微积分理论基础的问题，许多人都曾尝试解决，但都未能如愿以偿。这是因为数学的研究对象已从常量扩展到变量，而人们对变量数学特有的规律还不十分清楚；对变量数学和常量数学的区别和联系还缺乏了解；对有限和无限的对立统一关系还不明确。这样，人们使用习惯了的处理常量数学的传统思想方法，就不能适应变量数学的新需要，仅用旧的概念说明不了这种“零”与“非零”相互转化的辩证关系。
　到了18世纪，罗宾斯、达朗贝尔与罗依里埃等人先后明确地表示必须将极限作为微积分的基础概念，并且都对极限作出过各自的定义。其中达朗贝尔的定义是：“一个量是另一个量的极限，假如第二个量比任意给定的值更为接近第一个量”，它接近于极限的正确定义；然而，这些人的定义都无法摆脱对几何直观的依赖。事情也只能如此，因为19世纪以前的算术和几何概念大部分都是建立在几何量的概念上面的。
　首先用极限概念给出导数正确定义的是捷克数学家波尔查诺，他把函数ｆ（ｘ）的导数定义为差商Δｙ／Δｘ的极限ｆ′（ｘ），他强调指出ｆ′（ｘ）不是两个零的商。波尔查诺的思想是有价值的，但关于极限的本质他仍未说清楚。
　到了19世纪，法国数学家柯西在前人工作的基础上，比较完整地阐述了极限概念及其理论，他在《分析教程》中指出：“当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小就多小，这个定值就叫做所有其他值的极限值，特别地，当一个变量的数值（绝对值）无限地减小使之收敛到极限0，就说这个变量成为无穷小”。
　柯西把无穷小视为以0为极限的变量，这就澄清了无穷小“似零非零”的模糊认识，这就是说，在变化过程中，它的值可以是非零，但它变化的趋向是“零”，可以无限地接近于零。
　柯西试图消除极限概念中的几何直观，作出极限的明确定义，然后去完成牛顿的愿望。但柯西的叙述中还存在描述性的词语，如“无限趋近”、“要多小就多小”等，因此还保留着几何和物理的直观痕迹，没有达到彻底严密化的程度。
　为了排除极限概念中的直观痕迹，维尔斯特拉斯提出了极限的静态的定义，给微积分提供了严格的理论基础。所谓ａｎ＝Ａ，就是指：“如果对任何ε＞0，总存在自然数Ｎ，使得当ｎ＞Ｎ时，不等式｜ａｎ－Ａ｜＜ε恒成立”。
　这个定义，借助不等式，通过ε和Ｎ之间的关系，定量地、具体地刻划了两个“无限过程”之间的联系。因此，这样的定义是严格的，可以作为科学论证的基础，至今仍在数学分析书籍中使用。在该定义中，涉及到的仅仅是数及其大小关系，此外只是给定、存在、任取等词语，已经摆脱了“趋近”一词，不再求助于运动的直观。
　众所周知，常量数学静态地研究数学对象，自从解析几何和微积分问世以后，运动进入了数学，人们有可能对物理过程进行动态研究。之后，维尔斯特拉斯建立的ε－Ｎ语言，则用静态的定义刻划变量的变化趋势。这种“静态——动态——静态”的螺旋式的演变，反映了数学发展的辩证规律。