12时是周角吗

 “12时是周角吗？”这个问题的完整说法应该是“12时整，时钟的时针和分针的夹角是周角吗？”在我们的眼里，这是一个感觉上非常简单的问题。一般人的答案无非三种：①“是”； ②“不是，应该是0°角”；③“0°角或周角”。在网络里通过搜索“12时整，时针和分针的夹角是多少度?”这个问题，可以知道答案的确如此。虽然这个问题主要是要回答：0°还是360°、或者两个都是，关键为什么是这个答案?百度的最佳答案是：“应该这样说：0时整，0°；12（24）时整，360°。”其实不然。下面我们先从角的定义开始讨论。

1、在《现代汉语词典》中，角的定义是包括两条射线的图形和从一条棱延伸出几个面的图形，这是语文词典的解释，但我们不能确定是否权威。

2、在《小学生实用数学辞典》中，从一个定点出发沿一定方向运动,所形成的轨就是射线，从一点引出两条射线所组成的图形，叫做角，这个点叫做角的顶点，每条射线叫做角的边。

3、在新浙教版《数学七年级（上册）》中，①“角是由两条有公共端点的射线所组成的图形，这个公共端点叫做这个角的顶点。”这是角的静态定义。② “角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形。起始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边。”这里的线动成角体现了运动变化的思想，是角的动态定义。

4、在老教材中，无论那个版本，比较一致地认为角的定义是：从一点引出两条射线，形成的图形叫角(或可以组成一个角)。

5、在北师大版《数学四年级（上册）》中，

6、在新世纪版《数学四年级（上册）》中，把角的一条边固定，另一条边旋转一周时所形成的角叫做周角。

综合上面几种角的定义来看，显然角存在两种状态：静态角和动态角。静态时，一个角是由两条同一顶点的射线组成的，这两条射线形成了一定的夹角，夹角的度数就是角度。动态时，角的始边（一条射线）的位置是固定的起始位置，角的终边（还是同一条射线）的位置由于旋转而不断发生变化，当角的终边停止运动而终止在某一位置（终止位置）时，与角的始边的位置形成了一个图形，就是角，角的始边与角的终边此刻就形成一定的夹角，夹角的度数就是角度。可见无论是静态角，还是动态角，角的组成部分可分为一个顶点（即公共端点，动态角时为旋转点）和两条边（形状为射线或线段），这是它们共同的特征。

在小学阶段由于角的内涵比较小，只是认识范围在0度至180度的锐角、直角和钝角，以及平角（180°）和周角(360°)，其它大于180度的角暂时不考究（即使初中没有特殊说明，也只讨论大于0°且小于180°的角）。我们在教学时只要把角的特征抽象出来进行具体分析就可以了，而且静态角是动态角的相对静止状态，是一种特殊情况，因此在小学阶段一般静态角和动态角不作区分，统一称作“角”，也不必区别角的始边和角的终边。

下面我们讨论周角和平角。

什么是周角？在老教材中，普遍认为周角的定义是：一射线绕它的端点旋转，当终边和始边再次重合时，所成的角叫做周角。

在新浙教版《数学七年级（上册）》中，周角的定义是：“终边旋转到和始边成一条直线时，所成的角叫做平角；旋转到终边和始边再次重合时，所成的角叫做周角。”“一个周角等于360°，一个平角等于180°。”

随着角的概念的内涵不断丰富，在初中平面几何中用“从一点引出的两条射线所组成的图形叫角”，推广为“由一条射线绕着它的端点旋转而形成角”，由于旋转方向不同出现正角、负角，当射线没有作任何旋转时，也认为这时形成一个角，这就是零角。这样角就是以运动的观点代替平面几何中用静止观点来讨论，数学中所讨论的角可以取得任意数值，包括大于360°的角，以及小于或等于零的角。

(1)正角、负角和零角：由旋转射线可以分别形成正角(逆时针旋转)、负角(顺时针旋转)、零角(射线不动)。

(2)象限角：在研究三角函数时，我们常在直角坐标系内讨论角，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边在x轴的正半轴上，角的终边落在第几象限内，就称这个角是第几象限角。

(3)轴上角：当角的终边与坐标轴重合时，称轴上角，它不属于任何一个象限。

(4)终边相同的角： k·360°+α(k∈Z)它是与α角的终边相同的角，(k=0时，就是α本身)，凡是终边相同的两个角，则它们之差一定是360°的整数倍。

由此可见，周角以及周角的整数倍角，实际上是两条射线的重合，这中间强调的是运动的过程！

从动态来看，显然一条射线绝不是周角，因为它没有旋转应该是零角。只有当射线旋转一周时，才是周角。但是周角的整数倍（包括负数和0）的角形成的是一条射线，我们可以把一条射线看作一条边旋转一周和另一条边重合时的状态，这样自然就可以看作周角了。因此这时，也可以看做0°角或周角，当然也可以看作720度角……

现在我们就不难回答钟面上的“12时是周角吗？”这个问题了，由于在运行中时针和分针又是同时旋转的，所以就显得比较复杂，我们要用动态角来进行考察。由于本问题指向明显不清，需要可以分成以下几个情形进行分析：

1、从0时到12时，时钟的时针经过的角是什么角？问题不考虑分针的运行情况，从动态上看，从0时到12时，时钟的时针刚好旋转一周，正好经过一个36O°，此时的时针（终边）和12小时前的时针（始边）第一次重合，时针此时所成的一个角就是一个周角。同理，从0时到24时，时钟的时针经过的角同样是周角，只不过此时是经过两个36O°，时针所成的角也是两个周角。

2、从0时到12时，时钟的分针经过的角是什么角？问题只考虑分针的运行情况，不考虑时针的运行情况。通过第1种情形问题1的分析，可以知道时钟的分针从0时起，每过1小时就经过一个36O°（也就是一个周角），到12时，就经过12个36O°，也就是12个周角。

3、0时整，时钟的时针和分针的夹角是多少度？从动态角看，由于时针和分针没有作任何旋转，这时形成一个角，就是0°角。

4、12时整，时钟的时针和分针的夹角是多少度？从动态角看，同样在这一时刻的时针和分针没有作任何旋转，此时形成的图形——角也是0度角。

5、从0时到12时，时钟的时针和分针经过的夹角是什么角？

我们分析钟面上时针和分针的夹角这一问题时，可以把时钟的时针和分针看作两条射线，把时针的这条射线看作始边，分针的那条射线就相应看作终边。只是时针这条射线随着分针的那条射线在变化而已。要回答这个问题，可先回答“从0时到12时，时钟的时针和分针经过的夹角是多少度？”

通过第1种情形问题1的分析，可以知道“从0时到12时，时钟的时针经过一个36O°”。通过第2种情形问题2的分析，可以知道“从0时到12时，时钟的分针经过12个360°”。那么，从0时到12时，时钟的时针和分针经过的夹角就是（12—1）个360°，即11个周角。通过操作实物钟面，证实从0时到12时，时钟的时针和分针重合11次。还可以用解方程来证明，从0时到12时，时钟的时针和分针组成11次周角。而组成11次周角，时针和分针正好在12时的位置，说明从0时到12时，时钟的时针和分针经过的夹角是11个周角。

综上所述，笔者认为教材的问题指向不明，应该改为：“从0时到12时，时钟的时针经过的角是什么角？”或者“从0时到12时，时钟的时针和分针经过的夹角是什么角？”更为妥当。

[1]胡光锑：《小学生数学实用辞典(最新版)》北京:北京师范大学出版社

 [2]范良火：义务教育课程标准实验教科书数学(七年级，上册)，杭州：浙江教育出版社，2006年7月第2版。