加载中…正五边形能够通过尺规作图完成，正七边形与其它
(2012-12-13 16:57:43)
标签：
杂谈 |
分类： 解题 |
上到圆与正多边形，有一个内容是尺规作图，课外资料有一练习题是：下列正多边形，通过直尺和圆规不能作出的是（
） A 正三角形 B
正四边形 C 正五边形 D 正六边形
提供的答案是C 。这显然是错误的。
http://s3/mw690/55ac18884d0b82f86e592&6901,
作一个圆,设它的圆心为 O;
2,作圆的两条互相垂直的直径 AZ 和
XY;
3,作 OY
的中点 M;
4,以点 M
为圆心,MA 为半径作圆,交 OX 于点 N;
5,以点 A
为圆心,AN 为半径,在圆上连续截取等弧,使弦 AB=BC=CD=DE=AN,
则五边形
ABCDE 即为正五边形
可以证明这个作图时正确的。这里略去。
确实,有的困难一些,有的容易一些。正七边形
的尺规作图是容易一些, 还是困难一些呢?人们很久很久未找到作正七 边形的办法,这一事实本身就说明作正七边形不容易;一直未找到这种
作法,也使人怀疑:究竟用尺规能否作出正七边形来?数学不容许有这 样的判断:至今一直没有人找到正七边形的尺规作图方法来,所以断言
它是不能用尺规作出的。人们迅速地解决了正三,四,五,六边形的尺规作图问题,却在
正七边形面前止步了:究竟能作不能作,得不出结论来。这个悬案一直
悬而未决两千余年。
17 世纪的费马,
就是我们在前面已两次提到了的那个法国业余数 学家,他研究了形如 Fi (i 为右下角标)=22i(底数 2 指数 2 的 i
次幂)+1 的数。 费马的一个著名猜想是,
n≥3 时, 当 不定方程 xn+yn=zn 没有正整数 解。
现在他又猜测 Fi
都是素数,对于 i=0,1,2,3,4 时,容易算出 来相应的 Fi: F0=3,F1=5,F2=17, F3=257,F4=65
537 验证一下,这五个数的确是素数。F5=225+1 是否素数呢?仅这么
一个问题就差不多一百年之后才有了一个结论, 伟大的欧拉发现它竟不 是素数,因而,伟大的费马这回可是猜错了!F5 是两素数之积:
F5=641×6 700 417。
当然,这一事例多少也说明:判断一个较大的数是否素数也决不
是件简单的事,不然,何以需要等近百年?何以需要欧拉这样的人来解 决问题? 更奇怪的是, 不仅 F5 不是素数, F7 也不是素数,
F9, F6, F8, F10, F11 等还不是素数,甚至,对于 F14 也能判断它不是素数,但是它的任
何真因数还不知道。至今,人们还只知 F0,F1,F2,F3,F4 这样
5 个 数是素数。由于除此而外还未发现其他素数,于是人们产生了一个与费
马的猜想大相径庭的猜想,形如 22i+1 的素数只有有限个。但对此也
未能加以证明。当然,形如 Fi=22i+1
的素数被称为费马素数。由于素数分解的艰 难,不仅对形如 Fi=22i+1
的数的一般结论很难做出,而且具体分解某 个 Fi 也不是一件简单的事。
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