2009浙江湖州中考数学选择题第12题的解的思考

原题：

在9×9的正方形网格上，小正方形的边长为单位1，每个小正方形的顶点称为格点，请你在图中任意画一条抛物线，问所画的抛物线最多能经过81个格点中的 （   ）个。

Ａ６     　Ｂ７　　    Ｃ８　　   Ｄ９

http://s8/bmiddle/55ac188847dbb2b0971c7&690

答案：选Ｃ，最多8个。

分析与思考

这个东东其实就是整点抛物线的问题。

什么是整点抛物线呢？当x的值为整数时，y也为整数。

可以将9×9的正方形放在坐标系里，构造整点抛物线即可。

y=1/2x(x+1)-1，a为1/2时（可以证明，整点抛物线中1/2是最小的），整点最多

这是竞赛题，出现在中考试卷上，命题者的用心是显而易见的：即志在选优及控制满分。通常在选择题或填空题中各出现一题，或在大题的梯度中有一问出现。值得注意的是：浙江各地近两年这种题还是常见的。

大致分析如下：

设y=ax^2+bx+c，如果当X取任意整数时，函数值Y都是整数

令x=0，则y=c为整数，所以c为整数。

令x=1和x=－1,得a+b+c=y₁，a－b+c=y₂。

两式相减，得2b=y₁-y₂,由于y₁-y₂为整数，

所以2b为整数，即b可以为分数，但分母必然是2

两式相加，得2a=y₁+y₂－2c，

所以2a为整数，即a也可以是分母为2的分数

但注意，a+b+c=y₁，如果a是分数，则b也必然是分数（因为a+b必然是整数）

所以，a和b要么同时为整数，要么同时为分母为2的分数

综合以上两种情况，c肯定是整数，a和b或者同时为整数，或者同时为分母为2的分数，当a和b同时为分数时，必须保证a+b为整数（其实就是a,b不能出现这样的形式：2k/2,其中k为整数）

练习：

对于二次函数y=ax²+bx+c 如果当x取任意整数时, 函数值y都是整数, 那么我们该把函数的图像叫做整点抛物线（例如y=x²+2x+2 ）

1、请你写出一个二次项系数的绝对值小于1的整点抛物线解析式；

2、是否存在二次项系数绝对值小于二分之一的整点抛物线？若存在， 请写出其中一个； 若不纯在 ，说明理由 。

答案：

1、y=0.5(x²+x)

2.、不存在。理由如下：

假设存在二次项系数的绝对值小于1/2的整点抛物线，不妨设y=ax²+bx+c（|a|<0.5)

则由x=0时，y是整数，则c是整数。

再由x=1，x=－1时都是整数，于是有

a+b+c=m(m是整数）

a－b+c=n(n是整数）

两式相加：2a+2c=m+n亦为整数

因为2c,m+n都是整数

所以2a也是整数

而假设|a|<0.5，|2a|<1，2a不是整数

二者矛盾 所以假设不成立

所以二次项系数的绝对值小于0.5的整点抛物线不存在.