1：线性与非线性关系：

数学上两个变量之间的关系是一次函数关系的——图象是直线，这样的两个变量之间的关系就是“线性关系”；如果不是一次函数关系的——图象不是直线，就是“非线性关系”。比如说y=ax+b 就是线性的 而y=ax^2+x+b就是非线形的，即多项式关系属于非线性，对数关系，三角函数关系，幂函数关系，指数关系等等也都属于非线性。

传统的物理学和自然科学就是为各种现象建立线性模型，并取得了巨大的成功。自然界中的许多现象确实都可以在一定程度上近似为线性。一些数学技巧也可以把一些非线性关系转化为线性关系。

   在经济生活中，“非线性”的意思就是“所得非所望”。一个线性关系中的量是成比例的：十枚鸡蛋的价钱是一枚的十倍。100枚一箱的鸡蛋则不是一枚的100倍，即零售价格是线性关系，而批发价格是不成比例的，是非线性关系,折扣的大小反过来又影响顾客购买的数量。

哲学上概括为：整体大于部分之和。典型例子就是我们的眼睛，两个眼睛的视敏度是一个眼睛的几倍？很容易想到的是两倍，可实际是 6－10倍！这就是非线性。所谓1+1》2。

2：实体经济与虚拟经济的非线性关系：

实体经济如果用GDP指标为代表，虚拟经济用证券市场的沪指为代表的话，可以用图表展示这一关系：

图中值得注意的地方是同向运行与反向运行的现象，二者似乎存在交替的可能。如果是这样的话，那么，未来（比如2015年中附近之后），GDP如果继续在低位运行，走箱体震荡的模式----比如类似于98年到2001年年中的模式，则股指不见得就走不出牛市，就像1996到2001年中那波总体性牛市。1996-2001年中的牛市与1989年9月到1993年2月见1559点的那波“狂牛”以及2005年中到2007年10月见6124的“疯牛”不同之处就在于，“狂牛”与“疯牛”恰好是与实体经济同向“同步”的，而96---01年牛市则与实体经济的增速是不同向不“同步”的。注意：我用到“同步”这个词，在非线性力学中，“同步”意味着广义“共振”-----即实体经济与虚拟经济的共振很可能就是产生狂牛与疯牛的条件。因此，未来如果有牛市的话，类型可能就不是20年一遇的“狂疯”型的牛市。大家翘首以盼的未来牛市可能也是交替地出现：快速狂奔型---温和复杂型---加速疯狂型---温和复杂型，即可能要轮到温和型的了。

在美国也可观察到这种非线性关系：

上图依然停留在直观观察的水平上，尽管也能说明股指运行与实体经济运行不是线性关系而是非线性的复杂关系。下图用GDP增速做横轴，股指增速（同比）做纵轴，从数学角度观察一下二者的关系：证明人的直观其实是正确的，确实是非线性的：

图中的绿色直线代表线性关系，可以看到其相关性指标R^2=0.3107;而红色多项式曲线的R^2=0.6696,大大地高于线性关系。

3：认识非线性关系的意义：

首先，实体经济与虚拟经济的非线性关系，可以在宏观上帮助我们摆脱一些困惑。比如各个研究机构出的研究报告或专家学者的分析预测，一般而言，水平都不低，都有自己的道理存在，我们小散就可以客观地去看，提高自己的甄别能力。曾看到有学者拿96年到2005年底那段反向运行来否定股市的“晴雨表”作用，而06年以来同向运行的相关性又很好，就又有过度把二者关联解读的倾向。谁都不敢肯定将来是否还可能出现反向哦。

其次对于一些技术方法所得出的推论，比如本博曾介绍过的经验模态分解法得出的推论，当实体经济与虚拟经济处于反向阶段时，就很可能得出错误的结论。一些研究较为深入的人，也可以引以为警。

另一方面，也使得我们加深理解到经济的复杂性。因为非线性的存在，实体经济与虚拟经济出现“背离”现象就不会感到奇怪，二者也会在某个阶段不同步---即存在“时差”或者说是“相位差”现象。

可能更为重要的是调整自己分析经济的一些方法和认识：比如可以把实体经济看作是一个非线性振子，而虚拟经济的证券市场则是另一个非线性振子。这样问题就可能豁然开朗，就可能利用非线性的理论对股市进行深度研究。自己有一些研究所得，暂不公布，需要时间去观察验证。此处也是抛砖引玉。