阿诺德舌头、朱载堉平均律和翁文波可公度性
      作者：  朱照宣   (北京大学力学系,北京100871)

 （发表于《力学与实践》2008 第30卷）

3组看来风马牛的人和词.但我猜测其中有点联系,都和共振有关.
    阿诺德(V.I.Amold1937一),当代俄罗斯数学家.阿诺德舌头(英文用复数tongues)是一个力学术语,它说明振动理论中一种广义的共振现象.朱载靖(1536\1611),明代宗室,所以英文文献中称他为PrinceChuZai一yu,他最早提出音律中的十二平均律.翁文波(1911、1994),已故地球物理学家,他提出“可公度性”作为预测的一种方法。
    人们知道共振,最早是从相同音律的共鸣开始的.战国时《庄子》有记载,“鼓宫宫动,鼓角角动,音律同矣”,这里宫和角是中国古代”五音”中的两个.所谓五音是:宫、商、角、微(读zhi,不能简化为“征”)、羽,相当于简谱中的do,re,mi,sol,la.上述现象用振动理论的行话说,频率相同的两个音会共鸣,或者叫频率比为1:1的共振。在力学教科书里,容易从力学基本规律出发,通过数学方法(诸如列出微分方程求解等等)解释共振原因.这是熟知的1:1共振.为和比值数字呼应,下文写成1/1共振.在历史上,接着有记载的是1/2(频率比为1:2)的共鸣.如宋代沈括记录了类似do和do"的共振:宫和少宫共鸣,商和少商共鸣.这种1:2共振在线性振动理论范畴内也容易理解.一个音的频率正好是另一音的频率乘2,乐律上叫“高八度”.在钢琴上,从任一键数起,第13个键(白键、黑键都算数)就是高八度,两键的频率率比严格的是2.两键按下去,耳朵听到的音是和谐的,共振了么.
     更一般地,设想有两个物体(或系统),两者固有频率之比恰好为1:n。(或n:l),n为正整数,如两者有某种相互影响,即通常称为有耦合,也会发生l/n共振.以上所说共振,用线性的振动理论就能解释.再进一步考虑有非线性的因素.我这里只是原理性的解释,相关的条件见非线性振动专著.设在某种非线性条件下,系统的“固有”频率不是那么死板,不可变动,那么只要两个频率之比接近于1:n,也会出现共振.这种共振也就是次谐波(Subharmonic),比如,1/3次谐波就是因为有1/3共振。
     所谓阿诺德舌头比这更进一步,这个术语说明的是m/n共振的条件,这里m和n是没有公因子(不可公约的)两个正整数,特别是比较小的正整数,比如2和3,或者5和8.这种共振通常是以某种非线性为前提的,非线性可能存在于系统自身,也可能见于两者耦合的机制.我用生活中的例子来说明“耦合”怎样起作用.个人走路,总有自己的习惯,形成固有的频率(如一分钟多少步).这种频率不会象电机转动频率那么严格地等于多少,而是在某个平均值附近有一个比较窄的“分布”.现在观察年龄相仿(因而固有频率相近)又比较亲近(有足够的耦合程度)的甲乙两人(设想是两个初中女生),让他们一起走路.走呀走的,就会走到一样快慢,甚至于不仅“同步”(synchronized)“锁频”(frequeney一loeked),而且“锁相(phase一locked)”,相位也相同,甲出左脚.乙也是左脚.两人的亲密程度,反映了“耦合”的强弱.是甲影响乙,还是乙影响甲,或者相互影响?这看情况而定.举一个单向影响的例子,成语中的‘亦步亦趋”它也出自《庄子》:孔子(最得意的)弟子颜回说:“夫子步亦步,夫子趋亦趋,夫子驰亦驰,夫子奔逸绝尘,而回膛若乎后矣”.这里当然是老师影响学生,学生向老师学习.“膛若乎后矣”,跟不上了,这说明,“同步”失效,有关参量(频率比、耦合强度)已经落在能产生共振的区域外面了.

阿诺德舌头说明的是:更一般的m/n共振中,耦合强度要多大才会发生.借用走路的说法,两个人(比如,大人和孩子),让他们分开走,自然频率比大致是2/3,甲走2步的时间,大致是(不必准确地是)乙走3步的时间.甲和乙一起走,亲近(耦合)到什么程度,会发生2/3共振,甲每走2步,乙不多不少正好走3步,而且一直维持下去，耦合不够这个程度,就乱了套,不合拍,追追停停,甚至各走各的了。
     阿诺德讲的是数学.他考虑了所谓“圆映射”(circlemap)：

式中：xmodl的意思是x以1为模,它只取0到1的值(不包括1,包括0),如果算得的x(i+l)大于等于1,则去掉整数部分.这样的x就是数学上圆周(周长为1)上的一点.从x(i)变成x(i+l)叫做映射,从圆上的一点映到下一时刻圆上的一点.用振动的语言来理解它,i是时间,已经离散化,而且无量纲化了的,x是变化着的物理量(当然也己无量纲化),也是圆周上的一个点.现在有两个系统,一个振动频率是1,体现在式中正弦项的2PI.另一个系统的频率由参数 入 表征,u说明两者耦合的强度.设想u为零(没有耦合),且 入=2/3,于是容易算得：
x(3)=x(2)+2/3=x(1)+2/3+2/3=x(0)+2/3+2/3+2/3=x(O)+2
在用modl后,x(3)=x(O).以后,x(6),x(9),x(12),…,x(3)的任意整数倍都等于x(0).点子在圆上绕过2圈的时间是3,它的周期(绕1圈的时间)是3/2,频率是2/3.所以,这个 入 就是另一系统的固有频率.既然一个系统的频率是1(周期是l),那么 入 也代表两个系统的固有频率之比,或两者固有周期之比的倒数。两个振动系统,频率为1的系统以强度u激励(强迫)频率为 入 的另一系统.在参数
平面(入横坐标,u纵坐标)上每一个点代表一个频率比和耦合(激励)强度.
     阿诺德(1965)给出,在这样的参数平面上,哪些区域里圆映射x会有频率为入的周期解.以 入=2/3为例,上面已看到(入,u=(2/3,0)属于共振区域.从这点出发,当在u>o,入在2/3附近的一段范围内,也会有频率为2/3的周期解.发生2/3共振的这个区域边界为:

我们看到,上两式只在第三项有正负号之差,而第二项相同,均为负.说明共振参数区的图在u方向的宽度是u的三次方量级,共振区域下部是尖尖的,区域整体是弯向左边的,入 略小于2/3.
这个共振区称为一个阿诺德舌头.图1显示了这个2/3舌头.


    阿诺德舌头有多少呢?无穷多个!所以英语要用tongues.每一个阿诺德舌头在入轴上收缩为一点,它是一个有理数m/n。有一个有理数,就有一个阿诺德舌头向上衍生.实数轴上有无穷多个有理数,岂不要担心共振太容易发生了吗?不会.首先,有理数的总数比入轴上全部点(实数)个数来,比值是零,因为有理数的个数是“可数无穷”,入轴上的点的个数是“不可数无穷“第二,当u渐增,舌头在入方向的宽度也是很小的.阿诺德舌头的总体图是画不全的,图2示意性地表现“最大的”几个舌头.

其实.在应用中,我们遇到的“有理数”共振,表示有理数的两个整数都是很小的,如1/1,1/2,l/3,2/3,l/4,3/4,l/5,2/5,3/5,4/5等等.在入为O到1范围内,分母愈大,对应的舌头愈小.人们关心的只是那几个大舌头.

(哈克补充下面2图，说明 0~1之间的小数可用连分数表示：

阿诺德舌头常用的是它们的舌尖部分.“舌根”部分会怎样呢?有“好事之徒--即理论工作者)用数值计算对上述圆映射的入-u平面上对全部u值找出共振区,当u足够大，那里众多舌盘根错节根互相打架。（下图是三维的阿诺德舌头）

我们注意到,入值在[1,2]间的图形完全重复了[0,1]间的图形.所以3/2舌头和1/2舌头是完全一样的.3/2舌头的宽度是入 的二次方量级的,远大于2/3舌头的宽度入三次方量级.两者不相等,因为圆映射这个模型中的耦合是单向的:频率为1的振动强迫着频率大致为入的系统.分母稍大,按比例画出的舌尖几乎看不出来了.
    圆映射比较抽象,在数学上也比较难.下面举一个直观的例子.
一个没有关紧的龙头在滴水(图4).水滴质量M(无量纲化后)随时间t(也已无量纲化)的变化可用一系列45度斜线表示,质量到达l时水滴掉下.这是积累一发放(integrate-fire)型的自激振动系统.现对龙头进行周期性的打击,打击强度用u(设想u<l)来表征,它使图中45度斜线如果跟在1-u和1之间的线段相遇就脱掉,M(t)下降到零.于是在入-u参数平面上可以画出m/n共振区,在入较小的范围内,出现典型的阿诺德舌头.

比如,2/3共振区是一个三角形,三角形内部的点,同时满足下面3个不等式：

当参数（入，u）落进这个三角形的阿诺德舌头时,就会产生2/3共振.共振的结果是:每打击3下,刚好滴水2滴.除了开始极短的“暂态过程”外,很快就建立起严格的节律:打3下滴2滴,打3下滴2滴,历久不衰.读者不妨取入=06.u=0.3,不用任何计算,在方格纸上照图4那样画画45度线段就可以验证了.

原来入=0.6表明,打击5次的时间正好是滴水3次的时间,但结果并非3/5共振,而是2/3共振.这里因为“耦合”有足够强度.用大人、孩子一起走路的比喻说,大人原先每走3步,孩子走5步.挨得近了,大人凑孩子,l步大,1步小,2步凑成孩子的3步:1+0.8=0.6+0.6+0.6；说明3/5共振让位于2/3共振,条件是耦合足够强.从这里可领会到阿诺德文章题目中“小分母,(smalldenominator)的意义.分母愈小愈重要.
    现转到音律方面来讲2/3共振,以及一般的和谐.C和 C 是1/1共振,C和C‘ 是1/2共振.有没有2/3共振?有,就是C/G和谐,所谓高五度音.一般的音律怎样建立?怎样才能保持各音之间和谐?司马迁在《史记》里专门用一篇《律书》写这件事.从频率的角度说，我们对《律书》中关心的是其中产生和谐频率比的办法:三分损益.频率比2/3(三分损一)能和谐,那么4/3(三分益一)也能和谐.从基音出发,将频率1(司马迁写的不是频率而是长度)依次交错地三分损益,即乘以2/3,4/3,2/3,4/3等等,会得到各个合适的谐音.乘呀乘的,终于乘出一个比值，它是：

《史记·律书》写这里:“十七万七千一百四十五分六万五千五百三十六”,就嘎然而止.为什么呢?照三分损益,下一个应该以这个数再乘以4/3,得

如果这个数刚好是1/2该多好呀,那就是两倍频率(频率和长度成反比)的音,就是高八度!其实,单从频率成简单整数比说,中国的律学中相当多的部分就是对这个三分“损”和“益”的组合做新的尝试(或者代以其他小的整数之比),以期得到更合理的律谱,可见有关的专著.

这个历史终于在明代宗室朱载堉的平均律出来后有了根本的变化.原来的办法,是相继乘一些小整数(2,3,4等)之比,结果乘出一个1/2.032……,平均律则先把1/2或2/1规定好,把它等分为若干值.所谓等分,其实是在对数上等分,等比分,即求出若干个等比值的数.古希腊等有过7等分的,朱载堉和当代通用的则是12等分律.要把整数1和2之间插入11个数,前后相邻两数比值相同,这个比值是2的12
次方根:
2^(l/12)=1.059463.....
朱载堉把2的这个12次方根算出来,并算出它的各个幂次.其实他的计算还不止于此.他把2开到了24次方,每个数值计算到小数点后24位,求24次方根,要分几步走,开平方,开平方,再开平方,而后开立方.用精确方法开平方,数字得每两位“撇”(分割)一下,开立方得3位撇一下.为了开立方,朱载堉专门造了一架算盘,共有75档(3x25=75).文献中说朱载堉开方用的方法是近似的,说错了.有关朱载堉的生平事迹和平均律怎样传到欧洲等,可见戴念祖教授40万字的力作《天演真人朱载堉》.
    我们回到简谱来说十二平均律,以C=1,C’=2,那么8个音的频率为:

    这个数值不会刚好等于3/2(中学教科书介绍无理数,就从根号2说起),但只是略小一点.所以,单从数字角度说,律学上的“三分损益”是用有理数(3^12)/(2^18)=2.032…替代整数2,而十二平均律则以无理数2^(7/12)=1.498…替代有理数3/2.两者比较,在音乐理论(比如作曲、和声)方面,彼此
优劣自有说法,暂且不提,单从数值误差说,后者“误差”仅千分之几,而2.032……(共18位小数除尽)虽是有理数,但和2离得太远了些.
    考虑钢琴上的黑白各键(图5).从任一键(无论黑白)起向右数,到第13个键(过了12个间隔)就是“高八度”音,即频率为出发键频率严格的2倍.根据对钢琴调音的要求,一架调好了的钢琴,中音A的频率应该精确地为440Hz(3位有效小数,440.000)‘而其余各键要按照十二平均律调好,调好的钢琴单键的音频,只有A是准的,其他的键,和音乐上的规定都有点出入.如音乐上要求C频率=523.2Hz,而
调音好了的钢琴c键频率为440*2^(3/12)=523.251Hz.

现在以任一键(无论黑白)为C,作为第一数起,到第8键(黑白都算数)就是G.把C和G两键同时按下去,发出频率比为2^(7/l2)=1.498……的两个音,为什么耳朵感到的声音是和谐的,发生2/3共振呢?可能的解释是,有关参量点落入了2/3阿诺德舌头区域.频率比1.498....固然和3/2(或其倒数2/3)差得不多,但如果没有某种耦合,或者有耦合但只是线性的,两个频率就“各唱各的调”,听到的将会有拍(beat).这里非线性来自何方?除了琴本身的组件和人的耳膜之外,我猜测,阿诺德舌头提供了想象的空间.总之,从来的律学都在简单有理数圈子里寻找和谐,朱载堉却在无理数中更好地实现了和谐,其原因是阿诺德舌头起了作用.类似事例也见于纯律(justintonation或naturaltem-perament).
下表中列出五度律(中国的三分损益律),纯律大音阶，纯律小音阶的各个音级与其主音(C)的频率比:


由上表可见,这两种律制3种音阶的差别仅在E,A,B，三个音级上:纯律大音阶比五度律更简单,纯律小音阶比纯律大音阶又更简单.在15世纪期间,欧洲音乐家一味追求“乐律简单,纯正”,获得纯律大小音阶.比数为5/4,5/3和15/8的纯律大音阶的E,A,B三个音确实比五度律81/64,27/16,243/128三音悦耳.同样,比数为6/5,8/5和9/5的纯律小音阶的E,A,B三个音又比纯律大音阶的这三个音级悦耳一些。所以会有这种结果,实际上正是阿诺德舌头中“小分母共振”.但是,在欧洲虽有许多纯律的理论,却无纯律的音乐实践.这并非“阿诺德舌头”出了差误,而是纯律大小音阶本身的音阶结构混乱了.纯律大音阶的E,A,B三音级比五度律同音级都少22音分(100音分即一个半音);纯律小音阶的E,A,B又比纯律大音阶省70音分,也就是说,与五度律音阶差92音分.纯律小音阶的这3个音级应为bE,
“A,bB.这样的音阶结构在音乐实践中又被音乐家放弃了.
    阿诺德舌头的又一个例证,是中国古琴上的琴徽.13个琴徽的位置分别在空弦的

1/2,1/3,1/4,1/5,1/6和1/8上(注意,无1/7.不知为何?).在这些徽位上,无论弹注音或实音,能产生五度律音或纯律音.
    本文第3个标题一翁文波的可公度性也许和阿诺德舌头有关,是我更为玄乎的一个猜测.翁文波1984年出版了《预测论基础》,薄薄的不到10万字,但涉及面很广。其中有一节,题为可公度信息系,提出一种方法,可用某事件(如暴雨、地震等)过去的历史资料(发生的年份)预测未来同样事件可能发生的时间.文字写得十分简单,没有说明在什么前提下可用,也没有什么高深的数学根据,但操作的
方法说得清楚,可以用来如法炮制.就和通常讲预测的书一样,这一节里也不乏成功的例子.当年曾有人为《预测论基础》请奖,评议者对它褒贬不一,未成.事情过了20多年，汶川地震后,在网上广泛传播着一位青年作者的文章!,她和合作者2006年发表的这篇文章结论是‘川滇地区2008年可能发生》6.7级的地震”,文章用的就是翁文波的可公度法,有关的计算只有一二十行字.于是波澜又起,是也非也,争论一阵,又过去了.

我理解,翁文波的可公度,就是有两串各自作周期变化的,确切些是大致作周期变化的两事件,两者的周期接近于两个小整数之比,由于有这个公度,就可借此来预测将来.在周期比较长的问题里,我们自然习惯用周期比,它和频率比是一回事.如果把地绕日运动作为两件事之一,那么两件事如果有因果关系(耦合)而“锁住”了,也许就可用来预测第二件事发生的年份.所以,和阿诺德舌头现象有关.
    事情远没有那么简单.圆映射是抽象又抽象的模型,滴水龙头的共振在现实生活里也不易做到.不同学科里数学结果的适用程度也不一样.月球自转周期严格地等于它绕地球一圈的时间,所以它一直以同一半面朝向地球,在1959年苏联航天器拍下月球背面照片以前,谁也不知道月球后半球是什么样子,两个运动被1/1共振“锁住”了.天文学上柯克伍德空隙{Kirkwoodgap}的分布也确实和那些小整数有理数吻合,依次是l/4，2/7,l/3，2/5，3/7,l/2,2/3,3/4,4/5等。

（哈克补充柯克伍德空隙分布图：

（注解：图中箭头指出的就是小行星带内著名的柯克伍德空隙，主要的空隙与木星的平均运动共振为3：1、5：2、7：3和2：1。也就是说在3：1的柯克伍德空隙处的小行星在木星公转一圈时，会绕太阳公转三圈。在其他轨道共振较低的位置上，能找到的小行星也比邻近的区域少。例如8：3共振小行星的半长轴为2.71天文单位。）
　　柯克伍德空隙明显的将小行星带分割成三个区域：第一区是4：1（2.06天文单位）和3：1（2.5天文单位）的空隙；第二区接续第一区的终点至5：2（2.82天文单位）的共振空隙；第三区由第二区的外侧一直到2：1（3.28天文单位）的共振空隙。
　　

但气象的预测就不可能像天文现象预测那么准了.至于地震,它涉及的地下情况,我们知之甚少,钻探深度才十几千米.许多问题还难于用确定性数学处理.也许弄得好,在适当的概率模型下,翁文波的可公度法给出的结果有较大的概率成功,那就不差了.翁文波本人也许认识到这种困难,他在1994年(去世前几个月)写道:如果她(指《预测论基础》)没有被遗忘,这可能还要等几年或十几年的时间。

我扯得远了.本文讲的是术语.即使说,有朝一日居然证明了,在按照Prince朱的十二平均率调好的钢琴上,C/G或do一sol音的和谐的确是2/3阿诺德舌头的原因,或者在某些数学假设下,翁文波的commensurabihty就是阿诺德那几个最大舌头所代表的“简单有理数”1/1,1/2,2/3,3/5等在起作用,从术语工作角度说,也没有必要去强求统一,规定统统叫“小分母共振”或“简单有理数和谐”什么的.每个名词,在各自的学科领域里,有自身的韵味.当十分相近的学科里,出现内涵真是一样的不同术语,才要考虑梳理梳理.还是那句老话:约定俗成么.

（木星与它的3个卫星：2G-3E+I=0; 即拉普拉斯可公度关系）

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/83/Galilean_moon_Laplace_resonance_animation.gif