一．离散沃尔变换 

    当N=2ⁿ 时，可以得到函数 f(x) 的离散沃尔什（ Walsh ）变换（ W （ u ））：

  http://s14/middle/54e2ed7bha49de59382dd&690

    b_k(z)是z的二进制表达式列中的第k位。例如n=3,则对z=6,其二进制数为110，有b₀(z)=0，b₁(z)=1，b₂(z)=1。

    由沃尔什变换核组成的矩阵是一个对称矩阵，且其行和列正交。这些性质表明反变换与正变换核只差1个常数1/N，即：

  http://s7/middle/54e2ed7bha49de7e666f6&690

    所以离散沃尔什反变换为：

  http://s3/middle/54e2ed7bha49de8ace532&690

    由于一维沃尔什变换正变换和反变换只差一个常数项1/N，所以用于正变换的算法也可用于反变换。一维沃尔什正变换和反变换核由以下两式给出：

  http://s12/middle/54e2ed7bha49de946369b&690

http://s4/middle/54e2ed7bha49dea0a5523&690

 

    这两个核完全相同，所以下面两式给出的二维沃尔什正变换和反变换也具有相同形式：

  http://s5/middle/54e2ed7bha49ded5060d4&690

http://s5/middle/54e2ed7bha49dee0b5ca4&690

 

    沃尔什正变换核和反变换都是可分离的和对称的，有：

  http://s16/middle/54e2ed7bha49df0793f5f&690

    因此，二维的沃尔什正反变换都可分成两个步骤计算，每个步骤用1个一维变换实现。

沃尔什变换可用类似于FFT算法快速地计算，只需要将那里的指数项设为1即可。快速沃尔什变换简写为FWT。两式对应，有：

  http://s2/middle/54e2ed7bha49df14fd0d1&690

http://s2/middle/54e2ed7bha49df1d5cbb1&690

 

二．离散哈达玛变换

    哈达玛变换与沃尔什变换相似，所以有些参考书上把二者统称为沃尔什-哈达玛变换。

（一）一维离散哈达玛变换

（一）一维离散哈达玛变换

当N=2ⁿ 时，一维哈达玛正变换核和反变换核相似。一维哈达玛变换对可表示为：

http://s5/middle/54e2ed7bha49f4e185254&690

             (u = 0,1,2,…, N-1)

http://s5/middle/54e2ed7bha49f4f322984&690

               (x = 0,1,2,…, N-1)

    哈达玛变换核除了因子1/N之外，由一系列的+1和-1组成。如N=8时的哈达玛变换核用矩阵表示为：

  http://s11/middle/54e2ed7bh76dcbc6e598a&690

    由此矩阵可得出一个非常有用的结论，即2N阶的哈达玛变换矩阵可由N阶的变换矩阵按下述规律形成：

http://s2/middle/54e2ed7bha49f61c1cdf1&690

    而最低阶（N=2）的哈达玛变换矩阵为：

  http://s2/middle/54e2ed7bha49f6330c861&690

    此性质导出了一种快速哈达玛变换（FHT），利用这个性质求N阶（N=2 ⁿ ）的哈达玛变换矩阵要比直接用定义式求此矩阵速度快得多。

（二）二维离散哈达玛变换

    二维离散哈达玛变换的正变换核和反变换核相同，为：

http://s8/middle/54e2ed7bha49f6656d967&690

    这里M=2 ^m ，N=2ⁿ 。则对应的二维哈达玛变换对可表示为： 

http://s15/middle/54e2ed7bha49f684a0dee&690

    可以看出，二维离散哈达玛变换的正反变换核具有可分离性，因此可以通过两次一维变换来实现一个二维变换。