师：同学们今天这一节课我们要做一节有关数的整除的综合复习课，大家看到课前我在黑板上零零散散的贴出了这么多卡片，那么这些卡片上写的都是有关数的整除中的一些有关数的概念，那么我不知道当我们把这些知识学完以后，今天的复习第一件事我们能不能根据这些有关数的概念它的意义和他们之间的联系，把这些零零散散的概念做一次梳理，你认为哪个概念最重要你可以举例说明也可以呢根据他内在的联系和你认为他的数学概念把它整理一个比较系统的知识网络图，这事原来干过吗？没干过。今天我们一起来试一试好不好!我不知道你们怎么分组，四人以小组还是怎么样分你们自己结合好不好？你认为哪个概念最重要它的概念下面又可以派生出哪些新的概念，那我们把这些做一个整理，好吗？把时间先给同学们，下面就自愿结合按照你们的老规矩，开始。

学生分组整理

小组汇报

生1：我们小组觉得整除是最重要的。

师：整除最重要是吗？那么整除最重要的你要把它先第一个出来是吗？那这样我就先把它放在最重要的位置。

生1：整除它还可以分为奇数和偶数。

师：整除还可以分为奇数和偶数？奇数和偶数是从整除这个角度去分的吗？同学们摇头呢！有意见呢！你选一位同学。

生1：赵俊艺

师：赵俊艺有不同看法。

生2：我觉得整除它可以分为因数和倍数。

师：你为什么在整除下面分得出因数和倍数？

生2：因为整除一个数，因数然后乘以倍数等于一个数，那么这个数可以除以因数等于倍数。

师：那么我的问题是，假如说数a能够被数b整除的话，那么想一想数a和数b一定有一个什么样的关系？你同意吗？

生2：同意

师：谁是谁的倍数？

生2：a是b的倍数

师：接着

生2：b是a的因数

师：你们同意这意见吗？

生：同意

师：她的意见说在整除的前提下一定会产生一种概念，什么？

师生齐声：因数和倍数

师：你为什么不同意她的意见呢？她说把奇数和偶数分出来就行了，你们可以有些讨论吗？

生2：我觉得偶数和奇数应该不算在整除里面，它应该是数的名称。

师：偶数和奇数是在什么前提下产生的？它跟谁有关系？跟整除有关系没错，在具体点，我们怎么确定这个概念呢？是跟整除有关系，能在具体点吗？在什么情况下我就认定它是偶数了？

生2：能被2整除的

师：接下来，说完整，老说一半

生2：能被2整除的那些自然数都是偶数

生2：不能被2整除的那么就是奇数

师：那你的意思偶数和奇数一定和一个重要的数有关系，是吗？

师：和谁？

生2：2

师：同意吗？

生：同意

师：她说能被2整除的就是？

生：偶数

师：不能被2整除的就是？

生：奇数

师：那好，这样啊，你既然提出来了这个问题我把这2先补充到这里好不好，我先假如说补充到这里，那么跟它有关系的赶快拿啊，偶数和奇数

学生拿卡片

师：你认为他们有关系，是这个意思吗？能被2整数和不能被2整除的，对吗？他们的关系你们同意吗？

生：同意

师：他们认为在整除的前提下一定有一对非常重要的概念，是什么？一起说

生：倍数和因数

师：你们认可不认可这样的观点？

生1：认可

师：那赶快找出来

学生找卡片

师：这样啊，既然跟它有关系我帮你们放在上面好不好

粘贴卡片因数、倍数

师：你们的意思就是说当数a能被数b整除的时候，数a就是数b的倍数，那么数b就是数a的因数，是这意思吗？

生：是

师：接下来继续说，因数还能接着往下说吗？

生：有公因数和公倍数，那么赶快跳出来啊

学生找卡片

师：又在下面的前提下产生了公因数和公倍数，你认为应该贴在哪里就贴下来，不同意见的赶快上来啊

学生贴卡片

师：贴在着跟他有关系是不是啊，你认为倍数和公倍数有关系，是吗？

师：他认为因数公因数有关系，是吗？还有吗？

生：还有最大公因数和最小公倍数

师：那么你们的意思就是说因数可以引出公因数这个概念，对吗？

生：对

师：那请问什么叫公因数？

生：公因数就2个数共有的因数叫做公因数

师：共有的因数对不对？

生：对

师：那什么叫最大公因数啊？

生：就是2个数最大的公因数

师：几个数公有的因数，其中最大的一个是它的什么？

生：最大公因数

师：那你们能接着把这段概念总结完吗？

生：2个数公共倍数就做公倍数，其中最小的一个就叫做最小公倍数

师：同意吗？

生：同意

师：你们这么一说还挺有道理，的确，从因数当中我们可以引出公因数的概念，还可以引出最大公因数的概念，是这样吧？那么，从倍数当中我们可以引出公倍数的概念，那么其中最小的一个是最小公倍数，有没有意见？

生：没有

师：接下来还有这么多的概念那，你有不同意见，那你可以上来啊。谁有的说前面来，你们现在都在动脑筋想啊。

生：合数

师：和数怎么啦？

生：我觉得合数也可以贴几个上来

师：你认为贴在哪里？把它拿出来。你们自己来不讲也可以，把它自己贴上去，谁愿意来？合数贴在哪？

生：合数的下面找到了，合数不知道贴在哪里

师：合数的家找不到了，合数是从哪出来的啊？我们怎么判断它是合数啊？别着急，它的合数找不到了，它的下面能找到是吗？

生：是的

师：那你别着急，那你等着找下面。现在合数的上家谁能找到？

生：偶数除了2都是合数

师：偶数里面除了2都是合数，有问题吗？

生：没问题

师：你想把它贴在偶数旁边是吗？有没有意见？

生：9、25也是合数

师：那些奇数当中也有合数啊，那么请问合数的概念是怎么产生的？你是根据什么判断它是合数的？这个合数旁边一定还有它的朋友呢？你把朋友找过来也可以啊

生：我觉得它合数的话，就是说它除了自己本身以外还有其它的因数。

师：这个同学他发现这个合数是跟那个谁有关系？

生：跟因数有关

师：跟因数什么关系？你们仔细听啊

生：这个合数除了它本身和1以外还有其它的因数

师：你的意思就是说合数会跟因数有关系，是这意思吗？那它除了1和它本身这两个因数以外还有？

生：其它的因数。

师：那你认为合数贴在哪里比较合适呢？

生：我觉得贴在因数这比较好

师：她说把合数贴在因数这比较合适，跟它有关系对不对？那么跟因数有关系的只有合数吗？它跟谁有关系？

生：还有它跟质数有关系

师：质数跟谁有关系？

生：质数也跟因数有关系

师：既然有关系放在这行不行？有什么关系？上级现在明白了，这2个数都与自然数因数的个数有关系，对吗？

生：对

师：有什么关系啊？这个数就2个因数，叫什么？

生：质数

师：除了1和它本身还有别的因数那叫什么数？

生：合数

师：看来这个小姑娘找的这个位置你们赞同吗？

生：赞同

师：是有关系啊，只有1和它本身两个因数的数叫质数，除了1和它本身还有别的因数的数叫做什么？

生：合数

师：那么自然数作为一个大的集合圈我们说过整除这个单元是在非0的自然数里面研究的，对吧？

生：对

师：那么把自然数作为一个大的集合圈，从因数的个数来分我们就说有质数有合数两大类，赞同我的意见请把手举起来，谢谢同学们的支持，反对的请举手，同学们都支持老师，你们都还在反对，听听他们的意见好吗？你们作为支持的代表谁愿意跟他们对话，站起来，不同意的站一边，你们对话。

生1：那请问一下1只有1这个因数，那请问它是质数吗？

生2：不是质数

生1：既然你说了它不是质数那么它是合数吗？

生2：不是

生1：既然它既不是质数也不是合数，那请问他因该是什么数呢？

师：请问它是什么数呢？你不想问个什么问题吗？两个问题问得好啊，第三个问题它既然不是质数也不是合数，那么自然数这样一个集合圈，你就分成两类

生3：自然数当中分成质数和合数，那1分给哪一类?

生4：整数

师：我们今天研究这个整数，我们讲的是自然数非0的情况下对不对，那么把它作为一个集合圈有质数有合数两类就够了吗？

师：请人家想一想

生4：3类

师：终于从牙缝里蹦出个数3类。几类？

生：3类

师：不2类了，那看来这1还是挺重要的对不对，那这1也不能放在质数里也不能放在合数里，它应该放在哪里？

师：单独一个，那好同学们自然数从因数的个数分分成几类？

生：3类

师：只有一个因数的是谁？

生：1

师：只有1和它本身两个因数的是？

生：质数

师：除了1和它本身还有别的因数的是？

生：合数

师：那么你们认为这三个分类和因数有关对不对？

生：对

师：你还有下阶吗？你下阶是什么？

生5：我的下阶是分解质因数

师：为啥贴在那，讲道理

学生贴卡片

师：贴在哪里

生5：合数下面，如果把合数拆开的话就变成质因数

师：有道理没有？

师：他说把合数拆开，拆开的意思是什么意思？

生5：就是把它分解了

师：这词更准确，那么你们来看吴老师在做什么？别着急，这是一个？

板书12=2×2×3

生：合数

师：我把它？

生5：分解了

师：分解了，对不对啊？

生：对

师：那么这个过程叫什么？

生5：分解质因数

师：有没有意见？

生：没有

师：所以你把它？

生5：贴在合数下面

师：那么他把它贴在合数的下面，任何一个合数都能写成几个这样的形式吗？

生6：能

师：你说能。你们又能想起？

生7：质因数

师：什么叫质因数？

生8：就是分解以后它只剩下质数没有合数

师：你的意思是说分完了没有合数

生8：就称为质因数

师：就以这题为例谁是谁的质因数？

生8：2和3是12的质因数

师：看来在分解质因数的过程当中我们又发现了这样的几个质数是这个合数的什么？

生：质因数

师：质因数在哪里？赶快贴过去，贴到这好不好，同意吗？

生：同意

师：这个分解的过程，而这个过程当中的几个质数就是这个合数的什么？

生：质因数

师：有没有意见？你的下阶找完了吗？

生5：还有互质数

师：互质数想不起来了，没关系，你问，有人能想起来它放哪？

生5：有人能想起来吗？谁能想起来这个互质数帖哪？

点一名学生上来帖

师：我们看她贴哪里

生9：互质数就是2个数除了1以外没有别的公因数

师：你把它放在谁的旁边？

生9：公因数

师：你放在这里的意思你在解释一下什么叫互质数？

生9：互质数就是2个数除了1以外没有别的公因数

师：这2个数就是？

生9：互质数

师：所以你认为互质数跟公因数？

生9：有关系

师：你就放在它的?

生9：下面

师：有道理吗？

生：有

师：当两个数的公因数只有1的时候这两个数就成为了互质数，同意吗？

生：同意

师：到这了，不着急，刚才你们说能被2整除的数叫什么数？

生：偶数

师：不能被2整除的数叫做？

生：奇数

师：那看来这还有点关系，对不对？偶数和奇数是对2而言的，对吗？

生：对

师：那我请问，当我把自然数作为一个集合圈的话，我说除了偶数就是奇数赞同的请举手，反对的请举手

学生举手

师：赞同我的意见，我认为自然数除了奇数就是偶数，有支持我的吗？来过来，就我们2和他们对势就行了，提问题，谁提谁问？

生1：请问0是什么数？

生2：是偶数

生1：它不能被2整除

生2：0除以任何数都是等于偶的，所以它是偶数

生3：那负数呢？

师：同学们首先我们上课的时候限定了今天我们讲的整除这个单元是在什么，非0的自然数这样一个范畴内研究的，对不对啊？对吗？因此，我们所说的是非0的自然数，是在这个范畴吗？那么我请问在这样的情况下除了偶数就是奇数，有没有意见，没意见的坐着，有意见的站着

学生坐着

师：是这样吗？同学们，那么我刚才问了一个问题啊，被2整除的数也就是2的倍数对吗？在这个单元里除了学过2的倍数还学过几的倍数的特征呢？3，对吗？是吗？被3整除的数有什么特征啊？记得吗？有什么特征？谁拿着话筒谁说吧

生1：能被3整除的数它各个数位相加的和也能被3整除

师：各个数位上的数相加的和能被3整除，这个数就一定能被3整除，这样说就比较完整。还学过被几整除的数啊？被几啊？被5整除有什么特征啊？你来说

生2：数的个位除了5就是0的数能被5整除

师：除了5就是0的数对吧？个位上是0和5的数能被5整除，那么被2整除的数的特征呢？记住了吗？是什么？得是0、2、4、6、8对吗，能被2、5同时整除的数，想一想有什么样的特征？什么特征？

生3：末尾是0的

师：要是同时被2、3、5整除的数呢？末尾的怎么样？你来说

生4：要是他们的，应该是0

师：末尾是0，还有别的要求吗？

生5：各个数相加起来的和都是3的倍数

师：好了，我听懂同学们的意见了，你们听懂了吗？同学们，刚才黑板上一堆零零散散的那样的有关数的概念的卡片，这么一整理怎么样，清清楚楚，谢谢你们。俗话说啊书越读越薄就是这个道理，那么多的概念经过我们集体的智慧把它整理成一个比较系统的有关数的整除的概念的这样一个网络图，那么有问题吗？你能给大家提出点问题让大家讨论吗？那我第一个发言好不好，我希望同学们学会提出问题，我的第一个问题是质数和质因数只是一字之差它们有什么相同的地方和不同的地方吗？这是我的问题，想好啦，你想回答，不急，我就找一个没举手的，说

生1：没想好

师：没想好啊，没关系的，看来同学们是碰到了困难，比如说我问的问题是质数和质因数有什么相同的地方和不同的地方，回答的时候能不能从概念出发去解释，然后再做一下比较就非常这个了，那你知道什么是质数吗？这个同学

生2：质数是，忘了

师：我来帮你们回复记忆，不是刚刚复习完吗？什么是质数啊？你来试试看

生3：除了1和它本身没有其它因数就是质数

师：记住了，你记住了小姑娘，记在心里啊，慢慢就恢复了。那么只有1和它本身没有其它因数的叫质数。什么叫质因数？

生4：质因数是由一个合数解开来的质数

师：别着急，他说的很快，他会用自己的语言来表达自己对概念的理解，他说是一个合数给解开的那个东西，我理解，就是刚才我把一个合数用几个质数相乘的形式表示出来，对吗？那么他说质因数也得只有，那么质因数首先得是什么数？

生4：质数

师：能当质数才能当质因数，对不对，他用概念解释啦，那么我在问问同学们，2是质数同意的请举手，2是质因数同意的请举手，为什么？

生5：因为2没有合数

师：说得多好啊，你叫什么名字？

生5：我叫李文怡

师：李文怡是女同学有没有意见

生：没有

师：李文怡是姐姐有没有意见？

生6：有

师：你有什么意见？

生6：她不是我姐姐

师：是啊，就好像2是质数一样，李文怡是女同放学可以独立存在，对不对，李文怡是姐姐就好像2是质因数一样它是谁的质因数啊？它是12的质因数，它是10的质因数，它能是9的质因数吗？因此，他一说质因数一定依附在谁的身上，也就是说质数可以独立存在而质因数不能独立存在，清楚了坐下来。向我这样提出问题，你能够文大家吗？还有能？你能给大家提个问题吗？你们平时没这习惯是吗？好这个男孩拿话筒说。

生7：质数和互质数有什么不同？

师：有什么不同？

生8：质数有一个就可以了，而互质数必须要有2个

师：啥意思啊？质数有1个就可以了，你的意思，他的意思你听懂了

生9：质数是单独的一个数，而互质数是相互的数

师：同意这意见吗？质数是单独的一个数，对一个数而言，对不对，而互质数对几个数而言

生：2个

师：其实有的时候啊，一字之差我们做一点思考就会发现他们有相同的地方和不同的地方，听懂了吗？这么多的数学概念我们怎么去理解应用它呢？

课件出示

在1----20的自然数中，有（）个奇数，有（）个偶数，有（）个质数，有（）个合数，奇数中的（）是合数，偶数中的（）是质数，既不是质数也不是合数的数是（）。

师：快速回答

学生回答

课件出示

把下面的数按照不同的标准分成两类，你能想到几种？

2   15   8    17    20

学生分类

生1：按照奇数和偶数分

师：还可以怎么分类？

生2：我把8、15、20分一类，2和17分一类，请大家猜猜我是怎么分的？

生3：她是按照质数和合数分的

师：你猜对了，真是质数合数分的，好啦，同学们，我迟疑了一下，但是我还是决定把这个题给你们

课件出示

两个质数的和即是11的倍数又是小于50的偶数，这两个数可能是多少？

师：马上告诉我，你现在在想什么？

生4：这两数是哪两个数

师：这两个数是哪两个数啊？你呢？

生5：跟他一样

师：这两个数究竟是几啊？有没有不这么想问题的？听听这位同学的意见

生6：这两个数的和是几？

师：他没这么想问题，两个数是几啊？这两数究竟是几啊？这两个数跟它一样到底是几啊？而这位同学说他们的和是几啊？你们觉得是向第一种想的好还是第二种好，第二种，那你们说吧，它的和是几啊？一起说吧，11的倍数有：11、22、33、44，下于50的偶数淘汰谁？

生：11、33

师：它的和找到了吗？你想说是什么？说

生1：3和19，7和15，5和17，别着急，先坐下来，同学们结果并不重要，最重要的是思考问题的方法，我们回忆一下，三个同学站起来说这2个质数是几？茫茫大海去捞针，而这位同学，他马上想到两个数的和是多少，在茫茫大海中一下子把包围圈缩小啦，因此我们写出了1、2、3、4，你们又在喊要淘汰11和33，包围圈也就更小了，一步步缩小包围圈，然后顺藤摸瓜，这样一组组的两个数都被脱颖而出，如果这个同学她说加起来也是22啊，错在哪里啊？

生7：15不是质数

师：所以她顾了和是22却忽视了一个重要的条件15不是质数，顾此失彼，因此我们在学习数学的时候首先用缩小包围圈的方法找到题眼然后还得顾这，还得顾那，同学们下课的铃声拉响了有收获吗？有收获啊，好啦同学们感谢你们，那么今天有些同学把概念忘掉了没关系回去以后在复习复习，好不好？

生：好

师：我建议全体起立面向着我们这边的老师一起说一声老师们辛苦了

生：老师们辛苦啦