近年来，在全国各地高考试题或模拟试题中，活跃着一类与http://s7/middle/a67fa5134c3ade68054b6&690的幂级数展开式编拟高考题的一般规律.

高等数学中，http://s4/middle/a67fa513079f7ca3fab83&690的幂级数展开式特别优美

http://s15/middle/a67fa5134c3ade69e450e&690

上式也叫http://s11/middle/a67fa513079f7ca436e3a&690的麦克劳林（Maclaurin)泰勒展开式，从此式出发，可以演绎出一些十分重要的不等式.

当http://s5/middle/a67fa513079f7ca43eee4&690时，有

http://s14/middle/a67fa5134c3ade6be714d&690 （1）

即 http://s11/middle/a67fa5134c3ade6b760ba&690 （2）

将（2）式右半部分http://s9/middle/a67fa5134c3ade6d6e5d8&690替换又可得：

http://s6/middle/a67fa5134c3ade6eb24a5&690 （3）

综合（2）（3），便得

http://s14/middle/a67fa5134c3ade6ec157d&690 （4）

注意上述（1）~（4）式均是在http://s16/middle/a67fa513079f7ca4c1dff&690时成立.

事实上，（1）式可以加强为如下两个不等式

http://s13/middle/a67fa5134c3ade6f0bc1c&690 （5）

和 http://s11/middle/a67fa5134c3ade704992a&690 （6）

（4）式可以加强为

http://s11/middle/a67fa513079f7ca4d4cda&690 （7）

（5），（6），（7）式中的等号当且仅当http://s16/middle/a67fa5134c3ade717532f&690时成立.

证明：这里仅证不等式（5）.构造函数http://s6/middle/a67fa5134c3ade7378545&690.

http://s8/middle/a67fa513079f7ca57c737&690，

即当http://s3/middle/a67fa5134c3ade79d4042&690时等号成立）.

（6），（7）式同理可证,限于篇幅,在此从略.

（5），（6）两式的几何解释如图1所示，（7）式的几何解释如图2所示.

http://s1/middle/a67fa5134c3ade7c1c190&690

图1 图2

我们通过对不等式（4），（5），（6），（7）进行变形,赋值，替换，放缩，累加，累乘等变换方法,可以衍生出来一大批高考题或模拟题.

当http://s10/middle/a67fa5134c3ade7d2b309&690

从而http://s13/middle/a67fa513079f7ca641f4c&690

据此，可编拟

题1（2010年全国大纲卷Ⅱ理22题（Ⅰ））

设函数http://s2/middle/a67fa5134c3ade7fdeb21&690.

由（5）式，知http://s12/middle/a67fa513079f7ca68dd9b&690，借助重要不等式

http://s14/middle/a67fa513079f7ca69245d&690

可得http://s9/middle/a67fa513079f7ca6a6e28&690

http://s10/middle/a67fa5134c3ade827e029&690

故 http://s6/middle/a67fa513079f7ca6c8d55&690

据此，可编拟

题2（2007年辽宁卷22（Ⅲ））已知函数http://s13/middle/a67fa513079f7ca6ba3fc&690.

证明：http://s2/middle/a67fa513079f7ca6d3071&690.

由（5）式http://s7/middle/a67fa5134c3ade8546d96&690的最小值为1.

令http://s13/middle/a67fa513079f7ca70bc1c&690，

http://s8/middle/a67fa5134c3ade8952417&690，累加得

http://s15/middle/a67fa513079f7ca7501ee&690

http://s11/middle/a67fa5134c3ade891d44a&690
据此，可编拟

题3（2008年广州一模20题，2008年北京西城二模20题（Ⅰ）（Ⅲ））

已知函数http://s1/middle/a67fa5134c3ade89be730&690.

（1）求http://s1/middle/a67fa5134c3ade8af1cb0&690的最小值;

（2）设http://s4/middle/a67fa513079f7ca7a0ef3&690.

由不等式（7）知http://s5/middle/a67fa513079f7ca7c7ee4&690时等号成立）.据此，可编拟

题4（2004年全国卷Ⅲ，22（1））已知函数http://s7/middle/a67fa513079f7ca7ed0c6&690的最大值.

在（4）式中，令http://s12/middle/a67fa5134c3ade911c85b&690.

据此，可编拟

题5（2009年山东济南调研考题）求证对任意正整数http://s6/middle/a67fa5134c3ade91abf65&690都成立.

由不等式（7）http://s10/middle/a67fa5134c3ade930ee39&690,

http://s4/middle/a67fa5134c3ade95019e3&690

令http://s5/middle/a67fa513079f7ca8a5f24&690时取得）.

据此，可编拟

题6（2009年汕头一模21（2））设函数http://s11/middle/a67fa513079f7ca8c3dda&690在定义域上的最小值.

当http://s15/middle/a67fa5134c3ade99aa19e&690.

若记http://s11/middle/a67fa5134c3ade9d816ba&690.

据此，可编拟

题7（2006年全国卷Ⅱ第20题）设函数http://s7/middle/a67fa5134c3ade9f06486&690的取值范围.

在不等式（4）中，令http://s11/middle/a67fa5134c3ade9f736ba&690得

http://s13/middle/a67fa513079f7ca9865cc&690

http://s4/middle/a67fa5134c3adea04aa43&690

分别取http://s2/middle/a67fa5134c3adea001a11&690累加，得

http://s3/middle/a67fa5134c3adea1685d2&690

http://s1/middle/a67fa5134c3adea0e2f70&690.

据此，可编拟

题8（2008年佛山理一模20）数列http://s15/middle/a67fa5134c3adea19eade&690.

（1）求数列http://s2/middle/a67fa513079f7ca9ca991&690的通项公式;

（2）设数列http://s13/middle/a67fa5134c3adea4273ac&690.

注：在本题中，由已知，可求得（1）中http://s9/middle/a67fa5134c3adea41a898&690

在不等式（7）中，令http://s3/middle/a67fa513079f7caa16672&690，从而

http://s4/middle/a67fa5134c3adea494923&690，

http://s11/middle/a67fa5134c3adea505b3a&690

分别取http://s16/middle/a67fa5134c3adea5b379f&690累加得

http://s3/middle/a67fa513079f7caa36fd2&690

http://s8/middle/a67fa513079f7caa415c7&690.

据此，可编拟

题9（2008年广州执信中学，中山纪念中学，深圳外语学校三校期末联考题20（Ⅲ），2008年江苏苏，锡，常，镇一模压轴题（3））

若http://s7/middle/a67fa5134c3adea70b296&690.

在不等式（7）中，作替换用http://s13/middle/a67fa513079f7caa610ac&690，

分别令http://s3/middle/a67fa5134c3adea88e4a2&690累加，得

http://s16/middle/a67fa5134c3adea89753f&690

即 http://s16/middle/a67fa513079f7caa79d2f&690 .

据此，可编拟

题10（《中学数学教学参考》2009年第1-2期第59页，“2009年我的优质训练题”）

（1）已知http://s15/middle/a67fa5134c3adea9d4dfe&690.

（2）已知http://s13/middle/a67fa5134c3adeaaf220c&690.

注：本题（2）中的左边不等式http://s11/middle/a67fa513079f7caabf44a&690即为2010年广州二模压轴题（2）中的所要证明的不等式.

在不等式（7）的右半部分的不等式中，用替换，可得

http://s13/middle/a67fa5134c3adeac36c9c&690 （8）

当且仅当http://s16/middle/a67fa5134c3adead07e9f&690时取等号.

两边同除以http://s5/middle/a67fa5134c3adeada4444&690.

分别令http://s2/middle/a67fa5134c3adeae38d21&690累乘，得

http://s2/middle/a67fa513079f7cab08d51&690

据此，可编拟

题11（2009年江苏苏，锡，常，镇一模压轴题（3））

求证http://s14/middle/a67fa5134c3adeae377fd&690

由（8）式，一方面，当http://s13/middle/a67fa513079f7cab2ccac&690的最大值为0.

另一方面，设http://s7/middle/a67fa513079f7cab3d306&690,

累加，求和得http://s16/middle/a67fa513079f7cab4e71f&690，

http://s1/middle/a67fa5134c3adeb1921a0&690

若给定 http://s15/middle/a67fa5134c3adeb18861e&690 ，

则有 http://s11/middle/a67fa5134c3adeb27a4ca&690.

据此，可编拟

题12（2011年湖北卷理第21题）

（Ⅰ）已知函数，求函数的最大值.

（Ⅱ）设http://s5/middle/a67fa5134c3adeb30ccc4&690均为正数，证明

若http://s5/middle/a67fa513079f7cab862e4&690.

在不等式（7）中，用http://s1/middle/a67fa5134c3adeb4528a0&690，得

http://s10/middle/a67fa513079f7caba2469&690 （9）

当且仅当http://s15/middle/a67fa5134c3adeb5702ae&690时，等号成立.

对不等式（9）中，每边先乘以http://s13/middle/a67fa5134c3adeb5517dc&690得

http://s8/middle/a67fa513079f7cabc8c57&690

再分别加上http://s13/middle/a67fa513079f7cabcb22c&690，得

http://s5/middle/a67fa5134c3adeb713bc4&690 （10）

令http://s5/middle/a67fa5134c3adeb6de7c4&690.

一方面，由（10）式知

http://s14/middle/a67fa5134c3adeb72da6d&690

（等号当且仅当http://s13/middle/a67fa5134c3adeb6ce67c&690时取得）.

若http://s12/middle/a67fa5134c3adeb7bf88b&690，

若http://s5/middle/a67fa5134c3adeb8d8bb4&690.

注意到http://s9/middle/a67fa5134c3adeba18af8&690.

故可得http://s7/middle/a67fa513079f7cac2e616&690.

另一方面，由（8）式http://s7/middle/a67fa5134c3adebb1c8e6&690.
若假定http://s11/middle/a67fa5134c3adebb9ffca&690.

由http://s15/middle/a67fa5134c3adebc03a6e&690得

http://s11/middle/a67fa5134c3adebc9e0fa&690

http://s10/middle/a67fa5134c3adebc96cd9&690

http://s12/middle/a67fa5134c3adebc8a39b&690

注意到http://s11/middle/a67fa5134c3adebe0413a&690.

据此，可编拟

题13（2010年全国Ⅰ卷理20题）已知函数http://s2/middle/a67fa513079f7caca4631&690

（Ⅰ）若http://s14/middle/a67fa5134c3adebe7dbdd&690的取值范围.

（Ⅱ）证明http://s2/middle/a67fa5134c3adebf262a1&690.

在 (4) 式中，令http://s10/middle/a67fa5134c3adebf64509&690，得

http://s1/middle/a67fa5134c3adebfc4370&690

若构造数列{a_n}，使http://s13/middle/a67fa513079f7cacd951c&690

易证http://s16/middle/a67fa5134c3adec1a26ff&690

http://s9/middle/a67fa513079f7cad0dd68&690

两边取自然对数，有

http://s4/middle/a67fa513079f7cad0b383&690

分别取http://s12/middle/a67fa5134c3adec2bcf3b&690，累加得

http://s3/middle/a67fa513079f7cad1ef82&690

即 http://s12/middle/a67fa5134c3adec341deb&690

∴http://s2/middle/a67fa5134c3adec3a76f1&690

据此，可编拟

已知数列{a_n}，http://s15/middle/a67fa5134c3adec49801e&690

（1）求证：当http://s14/middle/a67fa5134c3adec52ac7d&690

（2）http://s2/middle/a67fa5134c3adec4e65d1&690

此外，2010全国卷新课标理21，2005年重庆卷理22题，2004年山东卷理22题，2008年湖南卷理21题，2008年全国Ⅰ卷理22题等，均有本文不等式（5），（6），（7）的背景.

Ghttp://s14/middle/a67fa5134c3adec66f90d&690”的不等式，几乎都与不等式（5），（6），（7）有着的密不可分的“血缘”关系，换言之，这些不等式可看成是由（5），（6），（7）“繁殖”出来的“蘑菇群”，类似地，它们还可以衍生出很多新的不等式，

我们期待通过（5），（6），（7）能“繁殖”出更多，更大的“蘑菇群”.